• Obtenir la figure de diffraction-interférence avec les trous d’Young comme étant un système à division de front d’onde,
• Vérification de la formule théorique de l’intensité dans le cas de l’approximation de Fraunhoffer,
• Mesure du rapport de la distance inter-trous sur le rayon d’un trou

Montage expérimental à deux lentilles

Montage expérimental à une seule lentille

Montage expérimental sans lentille

• Laser,
• jeton en verre chromé contenant des trous d’Young,
• caméra permettant de capturer des images.

1. Définition : Deux trous de rayon R séparés d’une distance a aménagées dans un écran opaque à la lumière comme le montre la figure ci-dessous. La lumière incidente est diffractée par chaque trou. Dans la zone d’intersection, il y a interférence des ondes diffractées par les deux trous.  On appelle cette zone le champ d’interférence. L’expression de l’intensité en un point M d’un écran distant de D fait intervenir la diffraction par un trou et l’interférence entre les deux ondes. Cette expression est complexe.

2. Expression de l’intensité lumineuse sur l’écran dans le cadre de l’approximation de Fraunhoffer Considérons le cas d’un trou circulaire de rayon $\varepsilon$ comme le montre la figure ci-dessous. En vertu du principe d’Huygens-Fresnel, l’amplitude en un point M s’exprime sous la forme : $$\underline a(M)=\iint_\Sigma Q\underline a_i(P)\frac{\exp(jkr)}{r}d\Sigma(P)$$ où Q est un paramètre complexe relié au facteur d’obliquité et dépend du point P et du point M. $\underline a_i(P)$ est l’amplitude complexe au point P. La distance r qui figure dans l’intégrale s’exprime sous la forme : $$r=\sqrt{(PO_1+O_1M)^2}=\sqrt{\varepsilon^2+R^2-2\overrightarrow{O_1P}\cdot\overrightarrow{O_1M}}$$

• L’approximation de Fraunhoffer consiste à prendre R suffisamment grand devant $\varepsilon$ et devant $O’M=\sqrt{X^2+Y^2}$ de telle manière que Q soit une constante. Dans ce cas la distance r devient : $$r\approx R-\overrightarrow{O_1P}\cdot \overrightarrow u_d+\frac{O_1P^2}{2R}\approx R-\overrightarrow{O_1P}\cdot \overrightarrow u_d ;\quad R\approx D_{\text{distance ecran-trou}}$$
• L’approximation de Fraunhoffer consiste à considérer $\exp\left(\frac{kO_1P^2}{2R}\right)=1$,  c’est à dire $O_1P^2\ll \frac{\lambda R}{\pi}\quad \forall P$, ce qui revient à dire que $\varepsilon^2\ll \frac{\lambda R}{\pi}$. Dans ces conditions,  l’amplitude au point s’exprime sous la forme :

• $$\underline a(M)=\underline C\iint_\Sigma  \underline a_i(P)\exp(-j\overrightarrow k_d\cdot \overrightarrow{O_1P})d\Sigma ;\quad\overrightarrow k_d=\frac{2\pi}{\lambda}\overrightarrow u_d$$
• Pour un trou de diamètre $70\,\mu m$, l’approximation est valable à 1 %, pour une longueur d’onde $\lambda=0,6\,\mu m$ si $D\geq \frac{100\pi \varepsilon^2 }{4\lambda}\approx0,7\,m$
• pour un diamètre de 0,1 mm $(2\varepsilon=0,1\,mm)$, la distance trou-écran doit être supérieure à 1,3 m $(D\geq 1,3\,m)$
• pour un diamètre de 1 mm $(2\varepsilon=1\,mm)$, la distance trou-écran doit être supérieure à 1,3 m $(D\geq 130\,m)$
• pour un diamètre de 1 cm $(2\varepsilon=1\,cm)$, la distance trou-écran doit être supérieure à 1,3 m $(D\geq 13\,km)$.

On se place dans le cas de la diffraction à l’infini (l’écran est placé à très grande distance des tous ou dans le plan focal image d’une lentille convergente) : $$\overrightarrow k_{d1}=\overrightarrow{k}_{d2}=\overrightarrow k_d$$L’amplitude totale diffractée par les deux trous s’obtient de la manière suivante : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\underline a_{tot}(M)=\underline a_1(M)+\underline a_2(M)\\\underline a_1(M)=\underline K\exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{O_1O}\right)\iint_{\Sigma_1}\underline t_1(P) \exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{OP}\right)d\Sigma_1\\ \underline a_2(M)=\underline K\exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{O_2O}\right)\iint_{\Sigma_2}\underline t_2(P) \exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{OP}\right)d\Sigma_2\\ \underbrace{\iint_{\Sigma_1}\underline t_1(P) \exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{OP}\right)d\Sigma_1=\iint_{\Sigma_2}\underline t_2(P) \exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{OP}\right)d\Sigma_2}_{\text{les deux trous sont identiques}}\end{gathered}\right.\Rightarrow \underline a_{tot}(M)=\underline a_{diff}\times \underline a_{interf}\end{eqnarray*}$$\underbrace{ \underline a_{diff}=\underline k\iint_{\Sigma_1}\underline t_1(P) \exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{OP}\right)d\Sigma_1}_{\rm amplitude\, diffract\acute ee\, par \,un \,trou} ;\quad \underbrace{\underline a_{interf}=\exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{O_1O}\right)+\exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{O_2O}\right)}_{\rm amplitude\, due\, \grave a \,l’interf\acute erence\, de \,deux\, ondes}$$\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\underline a_{diff}=\underline\beta\iint_{\Sigma_1}\exp\left(-j\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{O_1P}\right)dxdy\\ \underline \beta=\underline K\exp\left(-j\overrightarrow k_d\cdot \overrightarrow{OO_1}\right)\\ \overrightarrow k_d=\frac{2\pi}{\lambda}\left(\frac{X}{R}\overrightarrow e_x+\frac{Y}{R}\overrightarrow e_y+\frac{D}{R}\overrightarrow e_z\right) ;\quad D\approx R\\\overrightarrow{O_1P}= x\overrightarrow e_x+y\overrightarrow e_y\\ x=\rho\cos(\phi) ;\quad y=\rho\sin(\phi) ;\quad X=r\cos(\theta) ;\quad Y=r\sin(\theta)\Downarrow \\\underline a_{diff}=\underline\beta\int_0^{\varepsilon} \rho d\rho\int_0^{2\pi}\exp\left(-j\frac{2\pi}{\lambda D}\rho r\cos(\phi-\theta)\right)d\phi\Downarrow \\ \underline a_{diff}=\underline\beta\int_0^{\varepsilon} 2\pi J_0\left(2\pi\frac{\rho r}{\lambda D}\right)\rho d\rho ;\quad\underbrace{ J_0(u)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\exp(-ju\cos(t))dt}_{\rm fonction\, de \,Bessel\, de\, premi\grave ere\, esp\grave ece \,d’ordre\, 0}\end{gathered}\right.\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\int_0^xyJ_0(y)dy=xJ_1(x) ;\quad J_1(x)\rm \,est\, la\, fonction \,de\, Bessel\, de \,premi\grave ere\, esp\grave ece\, d’ordre\, 1\\ \underline a_{diff}=\underline\beta \pi\varepsilon^2\left[\frac{2J_1(2\pi\varepsilon \xi)}{2\pi\varepsilon\xi}\right] ;\quad\xi=\frac{r}{\lambda D}=\frac{\sqrt{X^2+Y^2}}{\lambda D}\\\underbrace{ \underline a_{interf}=\exp\left(-j\overrightarrow k_d\cdot \overrightarrow{O_1O}\right)+\exp\left(-j\overrightarrow k_d\cdot \overrightarrow{O_2O}\right)=2\cos\left(\frac{\pi Ya}{\lambda D}\right)}_{\rm \,les\, trous\, sont \,dispos\acute es\, selon\, l’axe\, Oy \,et\, s\acute epar\acute es\, d’une \,distance \,a}\Downarrow\\ \underline a_{tot}(M)=\underline\beta \pi\varepsilon^2\left[\frac{2J_1(2\pi\varepsilon \xi)}{2\pi\varepsilon\xi}\right]\times 2 \cos\left(\frac{\pi Ya}{\lambda D}\right)\\ \boxed{I=I_{diff}\times I_{Interf}\propto \left[\frac{2J_1(2\pi\varepsilon \xi)}{2\pi\varepsilon\xi}\right]^2\times \left(1+\cos\left(\frac{2\pi Ya}{\lambda D}\right)\right)}\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}Finalement l’intensité fait intervenir deux termes ;  l’un représente l’intensité diffractée par une fente et l’autre l’intensité due à l’interférence de deux ondes : \begin{eqnarray*}I=I_{diff}\times I_{Interf}\propto \left[\frac{2J_1(2\pi\varepsilon \xi)}{2\pi\varepsilon\xi}\right]^2\times \left(1+\cos\left(\frac{2\pi Ya}{\lambda D}\right)\right)\\ \boxed{I\propto \left[\frac{2J_1(2\pi\varepsilon \sqrt{X^2+Y^2}/(\lambda D))}{2\pi\varepsilon\sqrt{X^2+Y^2}/(\lambda D)}\right]^2\times \left(1+\cos\left(\frac{2\pi Ya}{\lambda D}\right)\right)}\end{eqnarray*}$\varepsilon$ représente le rayon d’un trou, D est la distance entre le plan des trous et l’écran, a la distance entre les deux trous, (X,Y) les coordonnées d’un point de l’écran et $J_1$ est la fonction de Bessel de première espèce.

3. Rayon de la tache d’Airy Considérons le terme de l’intensité dû à la diffraction par un trou. L’expression du rayon de la tache d’Airy s’obtient de la manière suivante :
\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}I_{diff}\propto\left[\frac{2J_1(2\pi\varepsilon\xi)}{2\pi\varepsilon\xi}\right]^2 ;\xi=\frac{r}{\lambda D}\\\sin(\theta)\approx \frac{r}{D}\Rightarrow I_{diff}\propto\left[\frac{2J_1\left(2\pi\varepsilon\frac{\sin(\theta)}{\lambda}\right)}{2\pi\varepsilon\frac{\sin(\theta)}{\lambda}}\right]^2\\\frac{J_1(x)}{x}=0\Rightarrow x=1,22\pi ;\quad x=2,33\pi ;\quad x=3,33\pi ;\ldots\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}Il en résulte que le rayon angulaire de la tache d’Airy est tel que : $$\sin(\theta_A)=1,22\frac{\lambda}{2\varepsilon}=0,61\frac{\lambda}{\varepsilon} ;\quad\varepsilon\text{ est le rayon d’un trou}$$