• Obtenir une lumière polarisée à l’aide de matériaux présentant la biréfringence linéaire,
• séparer un faisceau en deux avec des polarisations rectilignes et orthogonales.

Prisme de Nicol

Prisme de Wollaston

• laser,
• 2 prisme de Nicol,
• prisme de Wollaston,
• 2 polariseurs type polaroid,
• écran.

1. Prisme de Nicol 1.1. Principe de fonctionnement La figure ci-dessous montre les deux parties du prisme de Nicol.

• On utilise un cristal de calcite, milieu uniaxe négatif : $n_E=1.486<n_0=1.658$,
• on coupe le cristal en deux parties égales que l’on recolle en intercalant une couche mince de baume de canada ou gomme de sapin(milieu transparent d’indice $n_c=1.538$).
• à l’interface calcite/baume de canada et pour une incidence précise, l’onde ordinaire subit une réflexion totale alors que l’onde extraordinaire est transmise dans la deuxième partie du cristal pour sortir parallèle à la direction d’incidence. On obtient alors une onde polarisée rectilignement dans le plan d’incidence.

On obtient les résultats suivants :

• Le rayon lumineux ordinaire confondu avec la direction du vecteur d’onde ordinaire est fortement dévié avec un angle de réfraction $i_{10}$,
• la direction du vecteur d’onde extraordinaire est dévié avec un angle de réfraction $i_{1e}$,
• le rayon extraordinaire est très faiblement dévié.

• l’onde ordinaire est polarisée rectilignement : $\overrightarrow D_0\perp\overrightarrow k_0$ est perpendiculaire au plan forme par l’axe optique et $\overrightarrow k_0$
• l’onde extraordinaire est polarisée rectilignement : $\overrightarrow D_e\perp\overrightarrow k_e$ est contenu dans le plan formé par l’axe optique et $\overrightarrow k_e$

2. Polariseur type polaroid 2.1. Principe de fonctionnement Un polaroid est un film de polymère échauffé, étiré dans une direction et imprégné d’iode. L’iode s’accroche sur les longues chaînes polymériques ce qui les rend conductrices dans la direction d’étirement. La composante du champ électrique parallèle aux chaines polymériques est absorbée par conduction électrique, la composante perpendiculaire est transmise. Ainsi le polaroid se comporte comme une grille conductrice dont les fils parallèles entre eux sont selon la direction d’étirement. On appelle direction privilégiée du polaroid la direction perpendiculaire à la direction d’étirement. Ces polariseurs fonctionnent dans le visible excepté du bleu extrême. Ils ont un facteur de transmission généralement inférieur à 40 %.2.2. Pourquoi on ne peut pas avoir extinction totale de la lumière à l’aide de deux polariseurs type polaroid croisés 2.2.1. Lumière incidente polarisée rectilignement Considérons deux polariseurs polaroid montés comme le montre la figure ci-dessous.

Soit $T_{\parallel}$ le coefficient de transmission en énergie selon la direction privilégiée et $T_\perp$ le coefficient de transmission en énergie selon la direction perpendiculaire. Supposons que l’onde incidente est polarisée rectilignement selon l’axe Ox $\overrightarrow E=E\overrightarrow e_x$. Le champ électromagnétique à la sortie du polariseur s’écrit sous la forme : $\overrightarrow E_1=E\sqrt{T_\parallel}\overrightarrow e_x ;\overrightarrow B_1=\frac{\overrightarrow e_z\wedge \overrightarrow E_1}{c}=\frac{E\sqrt{T_\parallel}}{c}\overrightarrow e_y$ Le champ électromagnétique à la sortie du deuxième polariseur devient : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\overrightarrow E_2=ET_\parallel\cos(\alpha)\overrightarrow e_A-E\sqrt{T_\parallel T_\perp}\sin(\alpha)\overrightarrow e_{A\perp}\\\overrightarrow B_2=\frac{ET_\parallel\cos(\alpha)}{c}\overrightarrow e_{A\perp}+\frac{E\sqrt{T_\parallel T_\perp}\sin(\alpha)}{c}\overrightarrow e_{A}\\ \overrightarrow \Pi_2=\frac{\overrightarrow E_2\wedge \overrightarrow B_2}{\mu_0}=\frac{E^2}{\mu_0c}[T_\parallel^2\cos^2(\alpha)+T_\parallel T_\perp\sin^2(\alpha)]\end{gathered}\right.\end{eqnarray*} où $\overrightarrow e_{A}$ désigne le vecteur directeur de la direction privilégiée du deuxième polariseur et $\overrightarrow e_{A\perp}$ le vecteur qui lui est %perpendiculaire. La transmission du montage s’obtient par :
\begin{eqnarray*}T=\frac{P_{\text{transmise}}}{P_{\text{incidente}}}=[T_\parallel^2\cos^2(\alpha)+T_\parallel T_\perp\sin^2(\alpha)]\end{eqnarray*}
Si $T_\parallel\gg T_{\perp}$, on obtient la loi de Malus : $T=T_\parallel^2\cos^2(\alpha)$ La fonction $T=f(\cos^2(\alpha)$ est une droite de pente $T_\parallel^2-T_\parallel T_{\perp}$ et d’ordonnée à l’origine $T_\parallel T_\perp$.2.2.2. Lumière incidente naturelleLa lumière naturelle n’est pas polarisée, on peut considérer que le champ électromagnétique de l’onde plane incidente est de la forme : \begin{eqnarray*}\overrightarrow E=E\cos(\theta)\overrightarrow e_x+E\sin(\theta)\overrightarrow e_y\\ \overrightarrow B=\frac{E}{c}\cos(\theta)\overrightarrow e_y-\frac{E}{c}\sin(\theta)\overrightarrow e_x\end{eqnarray*}avec $\theta$ varie de manière aléatoire d’un train d’onde à l’autre. Le champ électromagnétique à la sortie du premier polariseur est donné par :\begin{eqnarray*}\overrightarrow E_1=\sqrt{T_\parallel}E\cos(\theta)\overrightarrow e_x+\sqrt{T_\perp}E\sin(\theta)\overrightarrow e_y\\ \overrightarrow B_1=\sqrt{T_\parallel}\frac{E}{c}\cos(\theta)\overrightarrow e_y-\sqrt{T_\perp}\frac{E}{c}\sin(\theta)\overrightarrow e_x\end{eqnarray*}Le champ électromagnétique à la sortie du deuxième polariseur s’exprime sous la forme :
\begin{eqnarray*}\overrightarrow E_2=E\left[T_\parallel\cos(\alpha)\cos(\theta)+\sqrt{T_\parallel T_\perp}\sin(\alpha)\sin(\theta)\right]\overrightarrow e_A+E\left[T_\perp\cos(\alpha)\sin(\theta)-\sqrt{T_\parallel T_\perp}\sin(\alpha)\cos(\theta)\right]\overrightarrow e_{A\perp}\\\overrightarrow B_2=\frac{E}{c}\left[T_\parallel\cos(\alpha)\cos(\theta)+\sqrt{T_\parallel T_\perp}\sin(\alpha)\sin(\theta)\right]\overrightarrow e_{A\perp}-\frac{E}{c}\left[T_\perp\cos(\alpha)\sin(\theta)-\sqrt{T_\parallel T_\perp}\sin(\alpha)\cos(\theta)\right]\overrightarrow e_{A} \end{eqnarray*}Il en résulte la norme du vecteur de poynting : \begin{eqnarray*} \Pi_2=\frac{E^2}{\mu_0c}\left[(T_\parallel^2\cos^2(\theta)+T_\perp^2\sin^2(\theta))\cos^2(\alpha)+\frac{\sin(2\alpha)\sin(2\theta)}{2}\sqrt{T_\parallel T_\perp}(T_\parallel-T_\perp)+T_\parallel T_\perp\sin^2(\alpha)\right]\end{eqnarray*} Comme $\theta$ varie de manière aléatoire d’un train d’onde à l’autre et que les capteurs utilisés ont des temps de réponse inférieurs à $1\ ;\mu s$, le facteur de transmission des deux polariseurs s’obtient en effectuant la moyenne sur $\theta$, $\langle\cos^2(\theta)\rangle=\langle\sin^2(\theta)\rangle=\frac{1}{2}$ et $\langle\sin(2\theta)\rangle=0$ : $T=\frac{\langle P_{\text{transmise}}\rangle}{\langle P_{\text{incidente}}\rangle}=\frac{(T_\parallel-T_\perp)^2}{2}\cos^2(\alpha)+T_\parallel T_\perp$ Lorsque $T_\perp\ll T_\parallel$, on retrouve la loi de Malus :
$T=\frac{T_\parallel^2}{2}\cos^2(\alpha)$.3. Prisme de Wollaston Le prisme de Wollaston est constitué de deux prismes de quartz à angle droit dont les axes optiques sont perpendiculaires entre eux comme le montre la figure ci-dessous.

La construction d’Huygens nécessite la coupe de la surface de l’inverse des indices dans le plan d’incidence pour les deux parties du prisme. Pour des raisons de lisibilité de la construction, on considère que $n_0=1.3$ et $n_E=1.6$.

On obtient les résultats ci-dessous :

• les rayons lumineux réfractés coïncident avec les directions des vecteurs d’ondes puisque dans le prisme 2, les surfaces de l’inverse des indices mises en jeu sont des cercles : le rayon vecteur est perpendiculaire à la tangente,
• les directions des vecteurs excitations électriques coïncident avec celles des champs électriques
• les rayons lumineux vérifient la loi de Descartes de réfraction : $$n_0\sin(i)=n_E\sin(i_e) ;\ ;n_E\sin(i)=n_o\sin(i_0)$$
• à l’interface prisme2/air, la loi de Descartes s’exprime sous la forme : \begin{eqnarray*}n_E\sin(i-i_e)=\sin(i_{es}) ;\ ;n_0\sin(i_0-i)=\sin(i_{0s})\Rightarrow i_{0s}\approx i_{es}=(n_E-n_0)\tan(i)\\ n_E=1.5498,\ ;n_0=1.5408,\ ;i=45^\circ\Rightarrow i_{0s}=i_{es}=0.52^\circ\end{eqnarray*}où $i_{0s}$ et $i_{es}$ désignent respectivement l’angle de réfraction du rayon ordinaire et celui du rayon extraordinaire à la sortie du prisme de Wollaston.