• Obtenir la figure de diffraction-interférence avec les fentes d’Young comme étant un système à division de front d’onde,
• Vérification de la formule théorique de l’intensité dans le cas de l’approximation de Fraunhoffer,
• Mesure de la demi-largeur d’une fente et la distance inter-fentes
• Préciser les limitations dues à la cohérence temporelle et à la cohérence spatiale

Montage expérimental à deux lentilles

Montage expérimental à une seule lentille

Montage expérimental sans lentille

• Laser épuré,
• Lampe quartz-iode,
• lentille de 200 mm,
• jeton en verre chromé contenant des fentes d’Young,
• Capteur CCD matricielle d’une caméra.
• Capteur CCD linéaire + logiciel d’acquisition.

1. Définition Deux ouvertures parallèles de largeur 2𝜀 séparées d’une distance a aménagées dans un écran opaque à la lumière comme le montre la figure ci-après. La lumière incidente est diffractée par chaque fente.
Dans la zone d’intersection, il y interférence des ondes diffractées par les deux fentes. On appelle cette zone le champ d’interférence. L’expression de l’intensité en un point M d’un écran distant de D fait intervenir la diffraction par une fente et l’interférence entre les deux ondes. Cette expression est complexe.

2. Expression de l’intensité lumineuse sur l’écran dans le cadre de l’approximation de Fraunhoffer Considérons le cas d’un trou circulaire de rayon $\varepsilon$ comme le montre la figure ci-dessous. En vertu du principe d’Huygens-Fresnel, l’amplitude en un point M s’exprime sous la forme : $$\underline a(M)=\iint_\Sigma Q\underline a_i(P)\frac{\exp(jkr)}{r}d\Sigma(P)$$ où Q est un paramètre complexe relié au facteur d’obliquité et dépend du point P et du point M. $\underline a_i(P)$ est l’amplitude complexe au point P. La distance r qui figure dans l’intégrale s’exprime sous la forme : $$r=\sqrt{(PO_1+O_1M)^2}=\sqrt{\varepsilon^2+R^2-2\overrightarrow{O_1P}\cdot\overrightarrow{O_1M}}$$

• L’approximation de Fraunhoffer consiste à prendre R suffisamment grand devant $\varepsilon$ et devant $O’M=\sqrt{X^2+Y^2}$ de telle manière que Q soit une constante. Dans ce cas la distance r devient : $$r\approx R-\overrightarrow{O_1P}\cdot \overrightarrow u_d+\frac{O_1P^2}{2R}\approx R-\overrightarrow{O_1P}\cdot \overrightarrow u_d ;\quad R\approx D_{\text{distance ecran-trou}}$$
• L’approximation de Fraunhoffer consiste à considérer $\exp\left(\frac{kO_1P^2}{2R}\right)=1$,  c’est à dire $O_1P^2\ll \frac{\lambda R}{\pi}\quad \forall P$, ce qui revient à dire que $\varepsilon^2\ll \frac{\lambda R}{\pi}$. Dans ces conditions,  l’amplitude au point s’exprime sous la forme :

• $$\underline a(M)=\underline C\iint_\Sigma  \underline a_i(P)\exp(-j\overrightarrow k_d\cdot \overrightarrow{O_1P})d\Sigma ;\quad\overrightarrow k_d=\frac{2\pi}{\lambda}\overrightarrow u_d$$
• Pour un trou de diamètre $70\,\mu m$, l’approximation est valable à 1 %, pour une longueur d’onde $\lambda=0,6\,\mu m$ si $D\geq \frac{100\pi \varepsilon^2 }{4\lambda}\approx0,7\,m$
• pour un diamètre de 0,1 mm $(2\varepsilon=0,1\,mm)$, la distance trou-écran doit être supérieure à 1,3 m $(D\geq 1,3\,m)$
• pour un diamètre de 1 mm $(2\varepsilon=1\,mm)$, la distance trou-écran doit être supérieure à 1,3 m $(D\geq 130\,m)$
• pour un diamètre de 1 cm $(2\varepsilon=1\,cm)$, la distance trou-écran doit être supérieure à 1,3 m $(D\geq 13\,km)$.

On se place dans le cas de la diffraction à l’infini (l’écran est placé à très grande distance des tous ou dans le plan focal image d’une lentille convergente) : $$\overrightarrow k_{d1}=\overrightarrow{k}_{d2}=\overrightarrow k_d$$

L’amplitude totale diffractée par les deux fentes s’obtient de la manière suivante : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\underline a_{tot}(M)=\underline a_1(M)+\underline a_2(M)\\\underline a_1(M)=\underline K\exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{O_1O}\right)\iint_{\Sigma_1}\underline t_1(P) \exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{OP}\right)d\Sigma_1\\ \underline a_2(M)=\underline K\exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{O_2O}\right)\iint_{\Sigma_2}\underline t_2(P) \exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{OP}\right)d\Sigma_2\\ \underbrace{\iint_{\Sigma_1}\underline t_1(P) \exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{OP}\right)d\Sigma_1=\iint_{\Sigma_2}\underline t_2(P) \exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{OP}\right)d\Sigma_2}_{\text{les deux fentes sont identiques}}\end{gathered}\right.\Rightarrow \underline a_{tot}(M)=\underline a_{diff}\times \underline a_{interf}\end{eqnarray*}$$\underbrace{ \underline a_{diff}=\underline k\iint_{\Sigma_1}\underline t_1(P) \exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{OP}\right)d\Sigma_1}_{\rm amplitude\, diffract\acute ee\, par\, une \,fente} ;\quad \underbrace{\underline a_{interf}=\exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{O_1O}\right)+\exp\left(-\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{O_2O}\right)}_{\rm amplitude\, due\, \grave a\ l’interf\acute erence\, de \,deux\, ondes}$$

Considérons que les fentes ont une largeur $2\varepsilon$ selon (Ox) et b selon (Oy) : $b\ll \varepsilon\Rightarrow b\longrightarrow +\infty$ \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\underline a_{diff}=\underline\beta\iint_{\Sigma_1}\exp\left(-j\overrightarrow k_d\cdot\overrightarrow{O_1P}\right)dxdy\\ \underline \beta=\underline K\exp\left(-j\overrightarrow k_d\cdot \overrightarrow{OO_1}\right)\\ \overrightarrow k_d=\frac{2\pi}{\lambda}\left(\frac{X}{R}\overrightarrow e_x+\frac{Y}{R}\overrightarrow e_y+\frac{D}{R}\overrightarrow e_z\right) ;\quad D\approx R\\\overrightarrow{O_1P}= x\overrightarrow e_x+y\overrightarrow e_y \\\underline a_{diff}=\underline\beta\int_{-b/2}^{b/2} \exp\left(-j\frac{2\pi}{\lambda D}yY\right)dy\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\exp\left(-j\frac{2\pi}{\lambda D}xX\right)dx\\ \underline a_{diff}=2\underline\beta b\varepsilon\sin_C\left(\frac{2\pi\varepsilon X}{\lambda D}\right)\sin_C\left(\frac{\pi b Y}{\lambda D}\right) ;\quad \sin_C\rm\,d\acute esigne\, le\, sinus\, cardinal\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered} \underline a_{diff}\propto \sin_C\left(\frac{2\pi \varepsilon X}{\lambda D}\right)\times \sin_C\left(\frac{\pi b Y}{\lambda D}\right)\\\underbrace{ \underline a_{interf}=\exp\left(-j\overrightarrow k_d\cdot \overrightarrow{O_1O}\right)+\exp\left(-j\overrightarrow k_d\cdot \overrightarrow{O_2O}\right)=2\cos\left(\frac{\pi Xa}{\lambda D}\right)}_{\rm les \,fentes \,sont \,dispos\acute ees\, selon \,l’axe \,Ox, \,s\acute epar\acute ees\, d’une\, distance\, a\, et\, parall\grave eles\, Oy}\Downarrow\\ \underline a_{tot}(M)\propto\sin_C\left(\frac{2\pi X\varepsilon}{\lambda D}\right)\sin_C\left(\frac{\pi bY}{\lambda D}\right)\times \cos\left(\frac{\pi Xa}{\lambda D}\right)\\ \boxed{I=I_{diff}\times I_{Interf}\propto \sin_C^2\left(\frac{\pi bY}{\lambda D}\right)\sin_C^2\left(\frac{2\pi \varepsilon X}{\lambda D}\right) \times \left(1+\cos\left(\frac{2\pi Xa}{\lambda D}\right)\right)}\\ b\longrightarrow +\infty\Rightarrow I\propto \delta(Y)\sin_C^2\left(\frac{2\pi \varepsilon X}{\lambda D}\right) \times \left(1+\cos\left(\frac{2\pi Xa}{\lambda D}\right)\right)\\ \delta(Y)=\left\{\begin{gathered}1 \text{ si } Y=0\\ 0\text{ ailleurs}\end{gathered}\right.\text{ est la distribution de Dirac}\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}

Dans le cas des fentes « infinies » selon Oy : \begin{eqnarray*}\boxed{I\propto \delta(Y)\sin_C^2\left(\frac{2\pi \varepsilon X}{\lambda D}\right)\left[1+\cos\left(\frac{2\pi a X}{\lambda D}\right)\right]}\\\boxed{I\propto\sin_C^2\left(\frac{2\pi \varepsilon X}{\lambda D}\right)\left[1+\cos\left(\frac{2\pi a X}{\lambda D}\right)\right] ;\,Y=0}\end{eqnarray*}

3. Diamètre angulaire de la tache centrale de diffraction Considérons le terme de l’intensité dû à la diffraction par une fente dans le cas où la largeur selon l’axe Oy est très grande selon l’axe (Ox) $\varepsilon\ll b$ : « la fente est infinie selon Oy ». L’expression du diamètre de la tache centrale s’obtient de la manière suivante :
\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}I_{diff}\propto \sin_C^2\left(\frac{2\pi\varepsilon X}{\lambda D}\right)\\\sin(\theta)\approx \frac{X}{D}\Rightarrow I_{diff}\propto\sin_C^2\left(\frac{2\pi \varepsilon \sin(\theta)}{\lambda}\right)\\\sin_C(\pi x)=0\Rightarrow x=\pm 1, \ ;x=\pm 2,\ ;x=\pm 3 ;\ldots\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}Où $\sin_C()$ désigne le sinus cardinal. Il en résulte que le rayon angulaire de la tache centrale est tel que : $$\sin(\theta_{centrale})=1\times\frac{\lambda}{2\varepsilon}=0,5\frac{\lambda}{\varepsilon} ;\quad\varepsilon\text{ est la demi-largeur de la fente selon (Ox) }$$