• Étudier les caractéristiques d’un oscillateur anharmonique à deux puits : 
• oscillations quasi-sinusoidales,
• oscillations anharmoniques avec un spectre constitué des harmoniques paires et impaires,
• oscillations anharmoniques avec un spectre constitué uniquement des harmoniques impaires.

Montage expérimental

• Oscilloscope,
• GBF,
• multimètres,
• résistances, $1\,k\Omega$, $10\,k\Omega$, $2,25\,k\Omega$,$5\,k\Omega$, $75\,k\Omega$ $100\,k\Omega$,
• multiplieurs AD633, ampli. TL081,
• condensateurs, $c=0,1\,\mu F$
• Carte d’acquisition+PC
• relais électronique
• Fils électriques

Le montage est donné dans la figure ci-dessous.

L’équation différentielle vérifiée par la tension $V_x$ s’obtient de la manière suivante : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\underbrace{\frac{V_e-V^-}{R_1}+C_1\frac{d(V_s-V^-)}{dt}=0}_{\text{loi des noeuds au niveau de la borne inverseuse du premier ampli.}}\\\text{le deuxieme ampli. est un inverseur}\\\underbrace{\frac{-V_s-V^-}{R_2}+C_2\frac{d(V_x-V^-)}{dt}=0}_{\text{loi des noeuds au niveau du troisieme ampli.}}\\\underbrace{V_e=aV_x+bV_x^3}_{\text{fonction du circuit non lineaire}}\\\text{les ampli. sont supposes ideaux et fonctionnent en regime lineaire : }V^-=V^+=0\end{gathered}\right.\Rightarrow  \left\{\begin{gathered}V_s=R_2C_2\frac{dV_x}{dt}\\\frac{d^2V_x}{dt^2}+\alpha V_x+\beta V_x^3=0\\\alpha=\frac{a}{R_1R_2C_1C_2}<0\\\beta=\frac{b}{R_1R_2C_1C_2}\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}Le potentiel dont dérive la force de rappel s’exprime par : $$U=\frac{\alpha}{2} V_x^2+\frac{\beta}{4}V_x^4$$ Les positions d’équilibre sont données comme suit : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\frac{dU}{dV_x}=0\Rightarrow V_x=0 ;\quad V_x=+\sqrt{\frac{|a|}{b}}=P_+ ;\quad V_x=-\sqrt{\frac{|a|}{b}}=P_-\\\left.\frac{d^2U}{dV_x}\right)_{V_x=0}=\alpha<0\rightarrow V_x=0\text{ est une position d’equilibre instable}\\\left.\frac{d^2U}{dV_x}\right)_{V_x=P_+}=-2\alpha>0\rightarrow V_x=P_+\text{ est une position d’equilibre stable}\\\left.\frac{d^2U}{dV_x}\right)_{V_x=P_-}=-2\alpha>0\rightarrow V_x=P_-\text{ est une position d’equilibre stable}\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}Le potentiel U possède la dimension d’une tension divisée par un temps le tout au carré. On définit une autre grandeur qui possède la même dimension désignée par la lettre V et donnée par : $$V=\frac{1}{2}\left(\frac{dV_x}{dt}\right)^2$$ On définit de même la grandeur Q par : $Q=U+V$. Celle ci se conserve au cours du temps : $$\frac{dQ}{dt}=\frac{dV_x}{dt}\left[\frac{d^2V_x}{dt^2}+\alpha V_x+\beta V_x^3\right]=0$$
La grandeur V est toujours positive ou nulle($V\geq 0$), la dynamique du système doit être compatible avec $Q\geq U$. On distingue les cas particuliers suivants :

1. cas où $Q=Q_1$ : les oscillations sont quasi-sinusoïdales au voisinage de l’une des positions d’équilibre $P^+$ ou $P^-$(figure ci-dessous).
2. Cas où $Q=Q_2$ : les oscillations au voisinage de l’une des deux positions d’équilibre stables. Ces oscillations sont anharmoniques(figure ci-dessous).
3. cas où $Q=Q_3\geq 0$, l’oscillateur chevauche les deux puits. La trajectoire de phase est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Le spectre contient uniquement des harmoniques impairs compatible avec le caractère impaire de la non linéarité $\alpha V_x+\beta V_x^3$(figure ci-dessous).