• Montrer que le passage de l’état stable à l’état instable se fait suite à une impulsion positive si $V_{ref}>0$ et suite à une impulsion négative si $V_{ref}<0$
• Montrer que le passage de l’état instable à l’état stable se fait d’une manière spontanée
• Vérifier l’expression de la durée de l’état instable donnée par : $$\boxed{T=(R_1+R_2)C\ln\left(\frac{2R_1}{R_1+R_2}\frac{V_{sat}}{V_{ref}}\right)}$$

Montage expérimental

Montage dérivateurSchéma électrique

• Carte d’acquisition+PC
• oscilloscope
• Boites à décades de capacités
• 3résistances $1k\Omega$
• résistance 270$\Omega$
• 2 Ampli. Op.
• alimentation stabilisée réglable
• Fils électriques

On effectue notre raisonnement sur le schéma électrique de l’icône « montage expérimental » qui montre le courant $i_c$ et la tension $V_c$.

En absence d’impulsion $V_{imp}=0=V^-$, l’état est stable et aucun courant ne circule dans le condensateur($i_c=0$). Dans ce cas $V^+=V_{ref}$ : 

\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}V_{ref}>0\Rightarrow \text{l’etat stable est }+V_{sat}\\V_{ref}<0\Rightarrow \text{l’etat stable est }-V_{sat}\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}On suppose dans la suite que $V_{ref}$ est positive. Appliquons une impulsion positive à $t=0^+$ telle que $V_{imp}>V_{ref}$, la tension $V_s$ bascule de $+V_{sat}$ à $-V_{sat}$ et un courant circule dans le condensateur :  \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}V_s(0^-)=+V_{sat} ;\quad V_A(0^-)=V_{ref}=V^+(0^-) ;\quad V_c(0^-)=V_A(0^-)-V_s(0^-)=V_{ref}-V_{sat}\\V_s(0^+)=-V_{sat}, V_c(0^+)=V_c(0^-)=V_{ref}-V_{sat}=V_A-V_s\Rightarrow V_A(0^+)=V_{ref}-2V_{sat}\Downarrow \\\text{Le courant circule dans le condensateur } i=C\frac{dV_c}{dt}=C\frac{d(V_A-V_s)}{dt}=\frac{V_{ref}-V_A}{R_1+R_2} ;\quad V_s(t>0^+)=-V_{sat}\Downarrow\\\tau\frac{dV_A}{dt}+V_A=V_{ref} ;\quad V_A(0^+)=V_{ref}-2V_{sat}\Rightarrow V_A(t>0^+)=V_{ref}-2V_{sat}\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) ;\text{ }\tau=(R_1+R_2)C\Downarrow \\i=\frac{2V_{sat}}{R_1+R_2}\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\Rightarrow V^+(t>0^+)=V_{ref}-\frac{2R_1V_{sat}}{R_1+R_2}\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\searrow_-\\\text{a } t=t_1 ;\quad V^+(t_1)=0\Rightarrow t_1=\tau\ln\left(\frac{2R_1}{R_1+R_2}\frac{V_{sat}}{V_{ref}}\right) : \text{ basculement de } V_s \text{ de }-V_{sat}\text{ a }+V_{sat}\\\text{ et ainsi le processus se repete a la prochaine impulsion positive}\Downarrow \\\text{la duree de l’etat monostable est : }T=t_1=\tau\ln\left(\frac{2R_1}{R_1+R_2}\frac{V_{sat}}{V_{ref}}\right)=(R_1+R_2)C\ln\left(\frac{2R_1}{R_1+R_2}\frac{V_{sat}}{V_{ref}}\right)\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}