• Étudier le principe de fonctionnement du multivibrateur astable et varier le rapport cyclique du signal
• transformer le multivibrateur astable en un oscillateur quasi-sinusoïdal,
• Générer les signaux carrés et triangulaires à l’aide d’une boucle constituée du comparateur à hystérésis non inverseur et de l’intégrateur inverseur.

Montage expérimental : multivibrateurastable

Multivibrateur astable : modification du rapport cyclique

Transformation du multivibrateur astable en un oscillateur quasi-sinusoïdal

Générateur de signaux

Modification du rapport cyclique

• Carte d’acquisition+PC
• oscilloscope
• Boite à décades de résistances
• résistances $1k\Omega$, $10k\Omega$, $47k\Omega$, potentiomètre $10k\Omega$, $100k\Omega$
• Ampli. Op. TL081
• Fils électriques

1. Principe de fonctionnement du multivibrateur astable On considère que l’amplificateur opérationnel est idéal. Sa caractéristique statique est de la forme : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\varepsilon=V^+-V^->0\Rightarrow  V_s=+V_{sat}\text{ : regime non lineaire(saturation haute)}\\\varepsilon=0\Rightarrow \quad -V_{sat}<V_s<+V_{sat}  \text{ : regime lineaire}\\\varepsilon<0\Rightarrow V_s=-V_{sat}\text{ : regime non lineaire(saturation basse)}\end{gathered}\right.\end{eqnarray*} L’ampli. Op. fonctionne en régime saturé, c’est à dire : $V_s=\pm V_{sat}$. On suppose qu’à t=0, $V_c(0)=0$ et $V_{s}(0)=+V_{sat}$. Le montage est constitué d’un comparateur à hystérésis inverseur et d’un pseudo-intégrateur. L’évolution de $V_c$ en fonction du temps s’obtient de la manière suivante : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}V^+=\frac{R_1}{R_1+R_2}V_s\\\varepsilon=V^+-V_c>0 ;\quad V_s=V_{sat}\Rightarrow V_c<V_b=-\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{sat}\\\varepsilon<0 ;\quad V_s=-V_{sat}\Rightarrow V_c>-V_b=\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{sat}\\\text{le basculement de }V_{sat}\longrightarrow-V_{sat}\text{ s’effectue lorsque }V_c=V_b\\\text{le basculement de }-V_{sat}\longrightarrow V_{sat}\text{ s’effectue lorsque }V_c=-V_b\\i=\frac{V_s-V_c}{R}=C\frac{dV_c}{dt}\Rightarrow\tau\frac{dV_c}{dt}+V_c=V_s ;\quad \tau=RC\end{gathered} \right.\Rightarrow \left\{\begin{gathered}V_c(0)=0\text{ et } V_{s}=+V_{sat}\Downarrow\\\underbrace{V_c=V_{sat}\left(1-\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right)}_{\text{charge du condensateur jusqu’a }t_1 ; V_c(t_1)=V_b\Rightarrow V_s(t>t_1)=-V_{sat}} ;\quad t_1=\tau\ln\left(\frac{V_{sat}}{V_{sat}-V_b}\right)\\\underbrace{t_1<t<t_2 ;V_c=-V_{sat}+(V_{sat}+V_b)\exp\left(-\frac{(t-t_1)}{\tau}\right)}_{\text{decharge du condensateur jusqu’a }t_2 ;V_c(t_2)=-V_b}\\t_2-t_1=\tau\ln\left(\frac{V_{sat}+V_b}{V_{sat}-V_b}\right) ;\quad V_s(t>t_2)=V_{sat}\\\underbrace{t_3<t<t_3 ; V_c=V_{sat}-(V_{sat}+V_b)\exp\left(-\frac{(t-t_2)}{\tau}\right)}_{\text{charge du condensateur jusqu’a } t_3 ; V_c(t_3)=V_b}\\t_3-t_2=\tau\ln\left(\frac{V_{sat}+V_b}{V_{sat}-V_b}\right)\Rightarrow T=t_3-t_1=2RC\ln\left(1+\frac{2R_1}{R_2}\right)\end{gathered} \right.\end{eqnarray*}

2. Modification du rapport cyclique On suppose de plus que les diodes sont idéales. Lorsqu’une diode est passante l’autre est bloquée (la tension seuil est négligée). Le rapport cyclique s’obtient comme suit :  \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}V^+=\frac{R_1}{R_1+R_2}V_s\\\varepsilon=V^+-V_c>0 ;\quad V_s=V_{sat}\Rightarrow V_c<V_b=-\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{sat}\\\varepsilon<0 ;\quad V_s=-V_{sat}\Rightarrow V_c>-V_b=\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{sat}\\\text{le basculement de }V_{sat}\longrightarrow-V_{sat}\text{ s’effectue lorsque }V_c=V_b\\\text{le basculement de }-V_{sat}\longrightarrow V_{sat}\text{ s’effectue lorsque }V_c=-V_b\\\underbrace{i_1=\frac{V_s-V_c}{xR+r}=C\frac{dV_c}{dt}\Rightarrow\tau_1\frac{dV_c}{dt}+V_c=V_s ;\quad \tau_1=(xR+r)C}_{\text{charge du condensateur via la diode } D_1}\\\underbrace{i_2=\frac{V_c-V_s}{(1-x)R+r}=-C\frac{dV_c}{dt}\Rightarrow\tau_2\frac{dV_c}{dt}+V_c=V_s ;\quad \tau_2=((1-x)R+r)C}_{\text{decharge du condensateur via la diode } D_2}\end{gathered} \right.\Rightarrow \left\{\begin{gathered}V_c(0)=0\text{ et } V_{s}=+V_{sat}\Downarrow\\ t_1=\tau_1\ln\left(\frac{V_{sat}}{V_{sat}-V_b}\right)\\t_2-t_1=\tau_2\ln\left(\frac{V_{sat}+V_b}{V_{sat}-V_b}\right)\\t_3-t_2=\tau_1\ln\left(\frac{V_{sat}+V_b}{V_{sat}-V_b}\right)\Downarrow\\T=t_3-t_2+t_2-t_1=2RC\ln\left(1+\frac{2R_1}{R_2}\right)\\\underbrace{\delta=\frac{t_3-t_2}{T}=\frac{xR+r}{R+2r}}_{\text{rapport cyclique }}\end{gathered} \right.\end{eqnarray*}

3. Transformation du multivibrateur astable en oscillateur quasi-sinusoïdal On utilise le modèle de l’amplificateur idéal où la tension de sortie $V_s$ est reliée à $\varepsilon$ en régime linéaire par : \begin{eqnarray*}\underline V_s=\frac{\mu_0}{1+j\frac{\omega}{\omega_0}}\underline \varepsilon\Rightarrow V_s(t)+\frac{1}{\omega_0}\frac{dV_s}{dt}=\mu_0\varepsilon(t)\end{eqnarray*}L’équation différentielle vérifiée par $V_s$ s’obtient de la manière suivante :

\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}V^+=\frac{R_1}{R_1+R_2}V_s=\beta V_s ;\quad\varepsilon=V^+-V_c\Rightarrow V_c=\beta V_s-\varepsilon\\i=\frac{V_s-V_c}{R}=C\frac{dV_c}{dt}\Rightarrow \tau\frac{dV_c}{dt}+V_c=V_s ;\quad \tau=RC\Downarrow \\\tau\frac{d}{dt}\left[\beta V_s-\frac{1}{\mu_0}\left(V_s+\frac{1}{\omega_0}\frac{dV_s}{dt}\right)\right]+\left[\beta V_s-\frac{1}{\mu_0}\left(V_s+\frac{1}{\omega_0}\frac{dV_s}{dt}\right)\right]=V_s\Downarrow \\\frac{d^2V_s}{dt^2}+\left[\frac{1}{\tau}+\omega_0(1-\beta\mu_0)\right]\frac{dV_s}{dt}+\frac{\omega_0}{\tau}(1+\mu_0(1-\beta)V_s=0\end{gathered} \right.\end{eqnarray*}

Cette équation montre que lorsque $\beta=\frac{1+\tau\omega_0}{\mu_0\omega_0\tau}=\beta_c$, $V_s$ peut osciller de manière sinusoïdale. En fait la naissance des oscillations (régime pseudo-périodique amplifié) exige que $\beta$ soit légèrement supérieur à $\beta_c$. Dans ce cas on parle d’oscillations quasi-sinusoïdales à la pulsation $\omega_c=\sqrt{\frac{\omega_0\mu_0}{\tau}}$($\mu_0\gg 1 ;\beta\ll 1$). Si $\beta\gg \beta_c$, on obtient un oscillateur de relaxation. Ainsi on passe de manière continue, en agissant sur $\beta=\frac{R_1}{R_1+R_2}$, de l’oscillateur de relaxation à l’oscillateur quasi-sinusoïdal et vice versa. 

4. Générateur de signaux carrés et triangulaires 4.1. Signaux de rapport cyclique 0,5 Le générateur est constitué d’une boucle comprenant un comparateur à hystérésis non inverseur et un intégrateur inverseur. $V_s$ ne peut prendre que $\pm V_{sat}$.  Le premier ampli. Op. fonctionne en régime saturé et le deuxième ampli. fonctionne en régime linéaire(fonction intégration). L’évolution de $V_s$ et $V_e$ en fonction du temps s’obtient comme suit : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered} \varepsilon_1=V^+_1-V^-_2=V^+_1\\\frac{V_e-\varepsilon_1}{R_1}+\frac{V_s-\varepsilon_1}{R_2}=0\Downarrow\\ \varepsilon_1=\frac{1}{R_1+R_2}\left(R_2V_e+R_1V_s\right)\end{gathered} \right. \Rightarrow\left\{\begin{gathered} \varepsilon_1>0\Rightarrow V_s=+V_{sat}\text{  si  }V_e>V_b=-\frac{R_1}{R_2}V_{sat}\\\varepsilon_1<0\Rightarrow V_s=-V_{sat}\text{  si  }V_e<V_h=\frac{R_1}{R_2}V_{sat}\\\text{transition }-V_{sat}\rightarrow V_{sat} : V_e=V_h\\\text{transition }V_{sat}\rightarrow -V_{sat} : V_e=V_b \end{gathered} \right.\end{eqnarray*}\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}i_2=\frac{V_s}{R}=C\frac{d(0-V_e)}{dt}\Rightarrow RC\frac{dV_e}{dt}=-V_s\\V_s(0)=V_{sat}\text{ et }V_e(0)=0\Rightarrow \underbrace{V_e=-V_{sat}\frac{t}{\tau} ;\quad\tau=RC}_{\text{charge du condensateur jusqu’a }t_1 ;V_e(t_1)=V_b\Rightarrow t_1=\tau\frac{R_1}{R_2}}\\\text{a } t=t_1\text{ :  basculement de }V_s\text{ de }+V_{sat}\text{ vers }-V_{sat}\\\underbrace{t_1<t<t_2 ;\quad V_e=V_{sat}\frac{t-t_1}{\tau}+V_b}_{\text{decharge du condensateur jusqu’a }t_2 ;V_e(t_2)=V_h\Rightarrow t_2=3\tau\frac{R_1}{R_2}}\\\text{a } t=t_2\text{ :  basculement de }V_s\text{ de }-V_{sat}\text{ vers }+V_{sat}\\\underbrace{t_2<t<t_3 ;\quad V_e=-V_{sat}\frac{t-t_2}{\tau}+V_h}_{\text{charge du condensateur jusqu’a }t_3 ;V_e(t_3)=V_b\Rightarrow t_3=5\tau\frac{R_1}{R_2}}\Downarrow\\\underbrace{T=(t_3-t_2)+(t_2-t_1)=4\tau\frac{R_1}{R_2}}_{\text{periode du signal}}\Rightarrow f=\frac{R_2}{R_1}\frac{1}{4RC}\end{gathered} \right.\end{eqnarray*}

4.2. Contrôle du rapport cyclique On suppose que les diodes sont idéales(on néglige la tension seuil) : lorsque $D_1$ conduit elle se comporte comme un fil et $D_2 $ est bloquée. Lorsque $D_2$ est passante, $D_1$ est bloquée. La charge du condensateur via $D_1$ s’effectue avec une constante de temps $\tau_c=(xR+r)C$. La décharge via $D_2$ s’effectue avec une constante de temps $\tau_d=((1-x)R+r)C$. L’évolution de $V_s$ et $V_e$ en fonction du temps s’obtient comme suit : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}V_s(0)=V_{sat}\text{ et }V_e(0)=0\Rightarrow \underbrace{V_e=-V_{sat}\frac{t}{\tau_c} ;\quad\tau_c=(xR+r)C}_{\text{charge du condensateur jusqu’a }t_1 ;V_e(t_1)=V_b\Rightarrow t_1=\tau_c\frac{R_1}{R_2}}\\\text{a } t=t_1\text{ :  basculement de }V_s\text{ de }+V_{sat}\text{ vers }-V_{sat}\\\underbrace{t_1<t<t_2 ;\quad V_e=V_{sat}\frac{t-t_1}{\tau_d}+V_b}_{\text{decharge du condensateur jusqu’a }t_2 ;V_e(t_2)=V_h\Rightarrow t_2-t_1=2\tau_d\frac{R_1}{R_2}}\\\text{a } t=t_2\text{ :  basculement de }V_s\text{ de }-V_{sat}\text{ vers }+V_{sat}\\\underbrace{t_2<t<t_3 ;\quad V_e=-V_{sat}\frac{t-t_2}{\tau_c}+V_h}_{\text{charge du condensateur jusqu’a }t_3 ;V_e(t_3)=V_b\Rightarrow t_3-t_2=2\tau_c\frac{R_1}{R_2}}\Downarrow\\\underbrace{T=(t_3-t_2)+(t_2-t_1)=2(\tau_c+\tau_d)\frac{R_1}{R_2}}_{\text{periode du signal}}=2\frac{R_1}{R_2}(R+2r)C\Rightarrow \underbrace{\delta=\frac{t_3-t_2}{T}=\frac{xR+r}{R+2r}}_{\text{rapport cyclique }}\end{gathered} \right.\end{eqnarray*}