Obtenir un signal modulé en fréquence à l’aide d’un oscillateur contrôlé en tension et étudier l’évolution de son spectre en fonction de l’amplitude du signal informatif c’est à dire en fonction de l’indice de modulation m.

Montage expérimental

• Carte d’acquisition+PC,
• 2 oscilloscopes,
• 2 GBF,
• Fréquencemètre,
• Fils électriques.

La modulation de fréquence ou modulation de la phase consiste à varier la phase d’un signal porteur $V_p$ de fréquence $f_p$ à l’aide d’un signal informatif $V_i$ de fréquence $f_i$ tel que $f_i\ll f_p$ : 

\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}V_p=A_p\cos(2\pi f_pt+\phi_p)\\V_i=A_i\cos(2\pi f_it)\\\text{la frequence instantanee du signal module est definie par : }\\f(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}\left[2\pi f_pt+\phi_p\right]=f_p+kA_i\cos(2\pi f_it)\Downarrow\\ \frac{d\phi_p}{dt}=2\pi kA_i\cos(2\pi f_it)\Downarrow \\\underbrace{\phi_p=\frac{kA_i}{f_i}\sin(2\pi f_it)}_{\text{origine des temps bien choisie pour annuler la constante d’integration}}\\\text{l’indice de modulation est defini par : }m=\frac{kA_i}{f_i}=\frac{\Delta f}{f_i}\\\underbrace{\Delta f=kA_i}_{\text{excursion maximale de frequence}}\end{gathered}\right.\Rightarrow V_{mod}=A_p\cos(2\pi f_pt+m\sin(2\pi f_it))\end{eqnarray*} Le spectre du signal modulé en fréquence s’obtient à partir de l’expression ci-dessous : \begin{align*}V_{mod}=A_p\left\{J_0(m)\cos(2\pi f_pt)+J_1(m)\left[\cos(2\pi(f_p+f_i)t)-\cos(2\pi(f_p-f_i)t)\right]\\+J_2(m)\left[\cos(2\pi(f_p+2f_i)t)+\cos(2\pi(f_p-2f_i)t)\right]\\+J_3(m)\left[\cos(2\pi(f_p+3f_i)t)-\cos(2\pi(f_p-3f_i)t)\right]+\ldots\right\}\end{align*} $J_i(m)$ est la fonction de Bessel de première espèce. Le spectre comporte une infinité de composantes spectrales : \begin{align*}\left(f_p,A_p|J_0(m)|\right) ;\quad\left(f_p\pm f_i,A_p|J_1(m)|\right) ;\quad\left(f_p\pm2f_i,A_p|J_2(m)|\right) ;\quad\left(f_p\pm3f_i,A_p|J_3(m)|\right) ;\ldots\end{align*}

• Cas où l’indice de modulation est très petit $(m\ll 1)$ : modulation à bande étroite $V_{mod}\approx A_p\cos(2\pi f_pt)+\frac{A_pm}{2}\left[\cos(2\pi(f_p+f_i)t)-\cos(2\pi(f_p-f_i)t)\right]$ Le spectre est identique à celui de la modulation d’amplitude avec un déphasage de $\pi $ entre les composantes de fréquence $f_p+f_i$ et $f_p-f_i$ . La largeur de la bande $B=2f_i$ est supérieure au double de l’excursion maximale $2\Delta f=2mf_i$
\item Cas où l’indice de modulation est quelconque (modulation à large bande) : le spectre contient une infinité de composantes fréquentielles. Si on garde les composantes contenant $98$