Fonction intégration
- Montrer que le montage théorique ne permet pas de réaliser la fonction intégration,
- Montrer que cette anomalie est due à la multiplication de la tension de décalage par $\mu_0$,
- Montrer que le montage pratique est un filtre passe bas de deuxième ordre et qu’il réalise la fonction intégration dans un domaine de fréquence bien déterminé,
- Réaliser la fonction intégration avec le montage corrigé.
Montage théorique
Effet du courant de polarisation
Effet de $V_d$
Montage pratique
- Carte d’acquisition+PC
- Oscilloscope numérique
- Boite à décades de résistances
- Boite à décades de capacités
- Ampli. TL081
- Fils électriques
On suppose que l’amplificateur opérationnel est idéal et fonctionne en régime linéaire
\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\varepsilon=0=V^+-V^-\Rightarrow V^-=V^+=0\\ i=\frac{V_e}{R}=-\frac{dV_s}{dt}\end{gathered}\right.\Rightarrow \boxed{V_s=-\int V_e\frac{dt}{RC}}\end{eqnarray*}
Les constatations expérimentales sont en désaccord avec le comportement intégrateur obtenu ci-dessus. On examine dans ce qui suit les principaux facteurs qui font diverger la tension de sortie.
1.1. Effet du courant de polarisation On suppose que le gain ne dépend de la fréquence
\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\varepsilon=V^+-V^-=-V^- ;\quad V_s=\mu_0\varepsilon\\\frac{-V^-}{R}+C\frac{d(V_s-V^-)}{dt}+I_{p^-}=0\\RC\left(1+\frac{1}{\mu_0}\right)\frac{dV_s}{dt}+\frac{V_s}{\mu_0}=-RI_{p^-} ;\quad \frac{1}{\mu_0}\ll1\Downarrow\\\frac{dV_s}{dt}+\frac{V_s}{RC\mu_0}=-\frac{I_{p^-}}{C}\end{gathered}\right.\Rightarrow\left\{\begin{gathered}\boxed{V_s=A\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)-\mu_0RI_{p^-}}\\\tau=RC\mu_0 ;\quad R=10k\Omega ;\quad C=100nF ;\quad\mu_0\approx 10^5 ;\quad I_{p^-}=30pA\Downarrow\\ -\mu_0RI_{p^-}=-30mV ;\quad \tau=100 s\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}
Le décalage de la tension de sortie en régime permanent est très faible et ne peut pas expliquer la saturation de la tension de sortie.
1.2. Effet de la tension de décalage
On suppose que le gain ne dépend pas de la fréquence
\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\varepsilon=V^+-V^- ;\quad V^+=-V_d\Rightarrow V^-=-\varepsilon-V_d\\\frac{-V^-}{R}+C\frac{d(V_s-V^-)}{dt}=0\end{gathered}\right.\Rightarrow \left\{\begin{gathered}\frac{dV_s}{dt}+\frac{V_s}{\tau}=-\frac{V_d}{Rc}\Downarrow\\\boxed{V_s=B\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)-\mu_0V_d} ;\quad V_d\approx 3mV\ ;-\mu_0V_d\approx 300V\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}
La valeur du régime permanent permet d’expliquer la dérive de la tension de sortie. Le circuit multiplie la tension $V_d$ par $\mu_0$.
2.1. Gain de l’ampli. indépendant de la fréquence : $V_s=\mu_0\varepsilon$
Dans un premier temps on prend en considération la tension $V_d$. L’équation différentielle du circuit s’obtient de la manière suivante :
\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\varepsilon=\frac{V_s}{\mu_0}=V^+-V^- ;\quad V^+=-V_d\Rightarrow -V^-=\frac{V_s}{\mu_0}\\\frac{V_e-V^-}{R}+C\frac{d(V_s-V^-)}{dt}+\frac{V_s-V^-}{R’}=0\Downarrow\\\frac{V_e}{R}+V_s\left[\frac{1}{R\mu_0}+\frac{1}{R’\mu_0}+\frac{1}{R’}\right]+C\left[1+\frac{1}{\mu_0}\right]\frac{dV_s}{dt}=-V_d\frac{(R+R’)}{RR’} ;\quad \mu_0\gg1\Downarrow\\ \boxed{R’C\frac{dV_s}{dt}+V_s=-\frac{R’}{R}V_e-V_d\frac{(R+R’)}{R}}\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}
Le circuit est un intégrateur $\left|\frac{R’C\frac{dV_s}{dt}}{V_s}\right|\gg1$. Pour réduire l’effet de $V_d$, on considère que $R’=10R$. Dans ce cas $V_d\frac{(R’+R)}{R}\approx 33mV$. Son effet peut être ignoré dans la suite.
2.2. Gain de l’ampli. fonction de la fréquence : $\underline V_s=\frac{\mu_0\underline \varepsilon}{1+j\frac{\omega}{\omega_0}}$
On se place en régime sinusoïdal forcé. La fonction de transfert du circuit s’obtient comme suit :
\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\underline \varepsilon=\frac{(1+j\frac{\omega}{\omega_0})}{\mu_0}\underline V_s=\underline V^+-\underline V^-=-\underline V^-\\\frac{\underline V_e-\underline V^-}{R}+C\frac{\underline V_s-\underline V^-}{\frac{1}{jC\omega}}+\frac{\underline V_s-\underline V^-}{R’}=0\Downarrow\\\frac{R’}{R}\underline V_e+\underline V_s\left[1+\frac{1+\frac{R’}{R}}{\mu_0}+j\omega\left[\frac{1+\frac{R’}{R}}{\mu_0\omega_0}+R’C+\frac{R’C}{\mu_0}\right]-\frac{R’C\omega^2}{\mu_0\omega_0}\right]=0 ;\quad R’=10R=100k\Omega ;\quad C=100 nF ;\mu_0=10^5\Downarrow\\\frac{R’}{R}\underline V_e+\underline V_s\left[1-\frac{R’C\omega^2}{\mu_0\omega_0}+j\omega R’C\right]=0\Downarrow\\\boxed{\frac{\underline V_s}{\underline V_e}=-\frac{R’}{R}\frac{1}{1-\frac{R’C\omega^2}{\mu_0\omega_0}+j\omega R’C}=-\frac{H_{st}}{1-\frac{\omega^2}{\omega_c^2}+j\frac{\omega}{Q\omega_c}}}\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}
où $H_{st}$ est le gain statique, Q est le facteur de qualité et $\omega_c$ la pulsation de coupure dont les expressions sont données par :
\begin{eqnarray*}H_{st}=\frac{R’}{R} ;\quad Q=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\omega_0R’C}}<0.5 ;\omega_c=\sqrt{\frac{\mu_0\omega_0}{R’C}}\end{eqnarray*}
Contrairement au cas du dérivateur, ce circuit ne peut pas osciller puisque son facteur de qualité est l’inverse de celui du dérivateur.
C’est un filtre passe-bas de deuxième ordre. Examinons les conditions qui doivent être remplies pour que le circuit réalise la fonction intégration.
\begin{eqnarray*} \left\{\begin{gathered}\omega\ll\omega_c\Rightarrow \omega\ll\sqrt{\frac{\mu_0\omega_0}{R’C}}\\\omega R’C\gg1\end{gathered}\right.\Rightarrow \boxed{\underbrace{\underline V_s=-\frac{1}{j\omega RC}\underline V_e\Rightarrow V_s=-\int V_e\frac{dt}{RC}}_{\text{fonction integration}}}\end{eqnarray*}
Le montage pratique réalise la fonction intégration dans le domaine de pulsations : $\frac{1}{R’C}\ll\omega\ll\sqrt{\frac{\mu_0\omega_0}{R’C}}$. Pour un signal présentant une composante continue(valeur moyenne), la réponse s’exprime sous la forme :
$\boxed{V_s=-\frac{R’}{R}\langle V_e\rangle-\int (V_e-\langle V_e\rangle)\frac{dt}{RC}}$
