• Montrer que le montage théorique ne permet de réaliser la fonction dérivation. La raison c’est que le gain de l’ampli. varie avec la fréquence,
• Étudier la réponse à un échelon en tension du montage théorique pour déterminer le produit gain-bande passante caractéristique de l’ampli.,
• Corriger le montage pour le rendre dérivateur en basse fréquence

Montage expérimental

• Carte d’acquisition+PC
• oscilloscope numérique,
• GBF
• Boite à décades de résistances
• Boite à décades de capacités
• Ampli. TL081 et µA741
• Fils électriques

1. Montage théorique On suppose que l’amplificateur opérationnel est parfait et fonctionne en régime linéaire
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{gathered}
\varepsilon=V^+-V^-=-V^-=0\\
i=C\frac{dV_e}{dt}=-\frac{V_s}{R}
\end{gathered}\right.\Rightarrow V_s=-RC\frac{dV_e}{dt}
\end{eqnarray*}
Ce comportement de dérivateur est en désaccord avec les constatations expérimentales.2. Prise en compte de la variation du gain de l’ampli. avec la fréquence \begin{eqnarray*}\small
\left\{\begin{gathered}
\varepsilon=V^+-V^-=-V^- ;\quad \underline V_s=\frac{\mu_0}{1+j\frac{\omega}{\omega_0}}\underline \varepsilon\Rightarrow V_s+\frac{1}{\omega_0}\frac{dV_s}{dt}=\mu_0\varepsilon(t)\\
i=C\frac{d(V_e-V^-)}{dt}=-\frac{V_s-V^-}{R}\Downarrow\\
\frac{RC}{\mu_0}\frac{dV_s}{dt}+\frac{RC}{\mu_0\omega_0}\frac{d^2V_s}{dt^2}+\frac{V_s}{\mu_0}+\frac{1}{\mu_0\omega_0}\frac{dV_s}{dt}+V_s=-RC\frac{dV_e}{dt} ;\quad \frac{1}{\mu_0}\ll 1\Downarrow\\
\frac{d^2V_s}{dt^2}+\left(\omega_0+\frac{1}{RC}\right)\frac{dV_s}{dt}+\frac{\mu_0\omega_0}{RC}V_s=-\mu_0\omega_0\frac{dV_e}{dt} ;\quad RC\omega_0\ll 1
\end{gathered}\right.\Rightarrow \left\{\begin{gathered}\frac{d^2V_s}{dt^2}+\frac{1}{RC}\frac{dV_s}{dt}+\omega_R^2V_s=-RC\omega_R^2\frac{dV_e}{dt}\\ \omega_R^2=\frac{\mu_0\omega_0}{RC} ;\quad \frac{\omega_R}{Q}=\frac{1}{RC}\Downarrow\\ \frac{d^2V_s}{dt^2}+\frac{\omega_R}{Q}\frac{dV_s}{dt}+\omega_R^2V_s=-RC\omega_R^2\frac{dV_e}{dt}\\Q=\sqrt{\mu_0\omega_0RC} ;\quad\omega_R=\sqrt{\frac{\mu_0\omega_0}{RC}}\end{gathered}\right.
\end{eqnarray*}

La solution générale de l’équation sans second membre dépend de la valeur de Q. On obtient des oscillations pseudo-périodiques si $Q>0.5$, un régime critique si $Q=0.5$ et un régime apériodique si $Q<0.5$. En se plaçant dans le cas où Q=0.5 et en régime sinusoïdal forcé on peut distinguer deux comportements :

• $\omega\ll\omega_R$ (basse fréquence) : \begin{eqnarray*}\small\left\{\begin{gathered}\left|\frac{\frac{d^2V_s}{dt^2}}{\omega_R^2V_s}\right|=\frac{\omega^2}{\omega_R^2}\ll1\\
  \left|\frac{\frac{\omega_R}{Q}\frac{dV_s}{dt}}{\omega_R^2V_s}\right|=\frac{\omega}{Q\omega_R}\ll1\end{gathered}\right.\Rightarrow V_s=-RC\frac{dV_e}{dt}
  \end{eqnarray*}
  Le circuit réalise la fonction dérivation en basse fréquence.
• $\omega\gg\omega_R$ (haute fréquence) :
  \begin{eqnarray*}\small\left\{\begin{gathered}\left|\frac{\frac{d^2V_s}{dt^2}}{\omega_R^2V_s}\right|=\frac{\omega^2}{\omega_R^2}\gg1\\
  \left|\frac{\frac{\omega_R}{Q}\frac{dV_s}{dt}}{\frac{d^2V_s}{dt^2}}\right|=\frac{\omega_R}{Q\omega}\gg1\end{gathered}\right.\Rightarrow \frac{d^2V_s}{dt^2}=-RC\omega_R^2 \frac{dV_e}{dt}
  \end{eqnarray*}
  Le circuit réalise la fonction intégration comme le montre le diagramme de Bode dans la vidéo simulation LTSPICE.