• Mise en évidence expérimentale de l’effet Zeeman normal longitudinal dans le cas de la raie rouge du cadmium,
• Mesure du décalage en longueur d’onde ou en fréquence des raies Zeeman,
• détermination de l’état de polarisation des raies

Montage expérimental

• Électroaimant
• Lame de cadmium adaptée à l’entrefer de l’électroaimant
• Étalon Pérot-Fabry
• lentilles f’=100 mm ; f’=20 mm
• CCD d’une caméra
• Filtre interférentiel rouge,
• Pc+logiciel permettant de déterminer le rayon des anneaux

1. Définition L’effet Zeeman est la décomposition des raies spectrales émises par les atomes en plusieurs composantes décalées en fréquence lorsque sous l’action d’un champ magnétique statique. On distingue deux types : 

• l’effet Zeeman normal ne concerne que les transitions entre les états atomiques avec un spin total S=0. Dans ce cas le moment cinétique total d’un état est purement orbital
• l’effet Zeeman anormal se produit lorsque le spin total de l’état est non nul : $S\neq0$. Dans ce cas le moment cinétique total résulte d’une contribution orbitale et une contribution de Spin

• On suppose que l’électron est soumis dans le référentiel galiléen $\mathcal R(O,x,y,z)$ à une force électrostatique (centrale) : $\overrightarrow F=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\overrightarrow e_r$,
• l’électron est placé dans le champ magnétique extérieur $\overrightarrow B=B\overrightarrow e_z$
• le principe fondamental de la dynamique(PFD) s’exprime sous la forme : $$m\overrightarrow a=\overrightarrow F-e\overrightarrow v\wedge \overrightarrow B\Rightarrow\overrightarrow a=\frac{1}{m}\overrightarrow F+\overrightarrow \Omega\wedge \overrightarrow v,\ ;\overrightarrow\Omega=\frac{e}{m}\overrightarrow B$$ 
• soit $\mathcal R’$ un référentiel en rotation à la vitesse angulaire $\overrightarrow\omega’=\omega’\overrightarrow e_z$ par rapport à $\mathcal R$. Le PFD dans $\mathcal R’$ s’exprime par : $$\overrightarrow a’=\frac{1}{m}\overrightarrow F+\overrightarrow\Omega\wedge(\overrightarrow v’+\overrightarrow \omega’\wedge \overrightarrow{OM})-2\overrightarrow \omega’\wedge \overrightarrow v’-\overrightarrow \omega’\wedge(\overrightarrow \omega’\wedge \overrightarrow{OM})$$ Cette expression se simplifie sin on considère que $\overrightarrow \omega’=\frac{1}{2}\overrightarrow\Omega$ et le terme $||\overrightarrow \omega’\wedge(\overrightarrow \omega’\wedge \overrightarrow{OM})||$ est négligeable devant $||\overrightarrow F/m||$
• L’expression du PFD dans $\mathcal R’$ devient : $\overrightarrow a’=\frac{1}{m}\overrightarrow F,\ ;\overrightarrow \omega’=\overrightarrow \Omega_L=\frac{e}{2m}\overrightarrow B$. Il en résulte que le mouvement de l’électron dans le référentiel de Larmor $\mathcal R_L$ en rotation à la vitesse angulaire $\overrightarrow \Omega_L$ par rapport à $\mathcal R$ est le même que le mouvement dans $R$ en absence de champ magnétique. Ceci constitue le théorème de Larmor :
• Le mouvement de l’électron dans $\mathcal R$ en présence du champ magnétique extérieur est la composition du mouvement en absence du champ(trajectoires elliptiques ou circulaires) et d’une rotation à $\overrightarrow\Omega_L=\frac{e}{2m}\overrightarrow B$

• Dans le référentiel de Larmor, une trajectoire circulaire dans un plan perpendiculaire au champ magnétique $\overrightarrow B$ est caractérisée par un rayon $r_0$ et une pulsation $\omega_0$ tel que : $$\frac{mv^2}{r}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r^2} ;\,r=r_0,\,v=r_0\omega_0\Rightarrow \omega_0=\sqrt{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mr_0^3}}$$ le mouvement circulaire peut être dans le sens positif(gauche) comme dans le sens négatif (droit)
• La composition de ces mouvements dans $\mathcal R$ donne deux mouvement de sens opposés caractérisés par des vecteurs rotation $\overrightarrow \omega_2=(\omega_0+\Omega_L)\overrightarrow e_z$ et $\overrightarrow\omega_1=-(\omega_0-\Omega_L)\overrightarrow e_z$. Les deux pulsations mise en jeu sont $\omega_1=\omega_0-\Omega_L$ et $\omega_2=\omega_0+\Omega_L$

2.3. Mouvement dans un plan contenant le champ magnétique Dans le cas d’une trajectoire circulaire dans un plan contenant le champ magnétique (Oxz), la trajectoire circulaire de rayon $r_0$ dans le référentiel de Larmor conduit dans le référentiel galiléen à deux mouvements circulaires dans le plan (Oxy) et à un mouvement sinusoïdal selon la direction du champ magnétique comme le montre la figure suivante : $$\left\{\begin{gathered}x_L=r_0\cos(\omega_0t)\\ z_L=z=\pm r_0\sin(\omega_0t)\\ y_L=0\end{gathered}\right.\Rightarrow \left\{\begin{gathered}x=\frac{r_0}{2}\left[\cos((\omega_0+\Omega_L)t)+\cos((\omega_0-\Omega_L)t)\right]\\y=\frac{r_0}{2}\left[\sin((\omega_0+\Omega_L)t)-\cos((\omega_0-\Omega_L)t)\right]\\ z=\pm r_0\sin(\omega_0t)\end{gathered}\right.$$ Il s’agit d’un mouvement circulaire gauche à la pulsation $\omega_0+\Omega_L$, d’un mouvement circulaire droit à la pulsation $\omega_0-\Omega_L$ et d’un mouvement sinusoïdal de pulsation $\omega_0$.

2.4. Dipôles électriques résultants Le moment dipolaire résultant $\overrightarrow p$ contient trois composantes : $$\overrightarrow p=\overrightarrow p_\parallel+\overrightarrow p_{\perp +}+\overrightarrow p_{\perp -}$$

• $\overrightarrow p_\parallel=p_{0\parallel}\sin(\omega_0)\overrightarrow e_z$ : polarisation rectiligne selon le champ $\overrightarrow B$
• $\overrightarrow p_{\perp+}$ polarisation circulaire gauche à la pulsation $\omega_0+\Omega_L$
• $\overrightarrow p_{\perp-}$ polarisation circulaire gauche à la pulsation $\omega_0-\Omega_L$

2.5. Rayonnement dipolaire Le champ électromagnétique rayonné en un point M par un dipôle $\overrightarrow p$ placé en un point O à très grande distance de celui-ci s’exprime sous la forme : $$\left\{\begin{gathered}\overrightarrow E_{ray}=\frac{\mu_0}{4\pi r^3}\left[\left(\frac{d^2 \overrightarrow{p}}{d t^2}\right)_{(t-r/c)}\wedge\overrightarrow{\rm OM}\right]\wedge\overrightarrow{\rm OM}\\\overrightarrow{B}_{ray}=\frac{1}{c}(\overrightarrow{e}_r \wedge \overrightarrow E_{ray}) \\\overrightarrow{\rm OM}=r\overrightarrow e_r\\ \overrightarrow p_\parallel=p_\parallel\sin(\omega_0t)\overrightarrow e_z ;\,\overrightarrow p_{\perp+}=p_{(\perp+)}\begin{pmatrix}\cos(\omega_2t)\\\sin(\omega_2t)\\0\end{pmatrix} ;\,\overrightarrow p_{\perp-}=p_{(\perp-)}\begin{pmatrix}\cos(\omega_1t)\\-\sin(\omega_1t)\\0\end{pmatrix}\\\omega_1=\omega_0-\Omega_L ;\,\omega_2=\omega_0+\Omega_L ;\,\Omega_L=\frac{eB}{2m}\end{gathered}\right.$$

Pour une observation longitudinale(le champ magnétique est orienté selon la direction de propagation de la lumière), c’est à dire $\overrightarrow{\rm OM}=z\overrightarrow e_z$, le dipôle $\overrightarrow p_\parallel=p_\parallel\overrightarrow e_z$ ne rayonne pas. L’expression du champ rayonnée selon cette direction est donnée par : $$\left\{\begin{gathered}\overrightarrow E_{ray1}=\frac{\mu_0\omega_1^2p_{(\perp-)}}{4\pi z}\begin{pmatrix}\cos\left(\omega_1\left(t-\frac{z}{c}\right)\right)\\-\sin\left(\omega_1\left(t-\frac{z}{c}\right)\right)\\0\end{pmatrix}\\\overrightarrow E_{ray2}=\frac{\mu_0\omega_2^2p_{(\perp+)}}{4\pi z}\begin{pmatrix}\cos\left(\omega_2\left(t-\frac{z}{c}\right)\right)\\\sin\left(\omega_2\left(t-\frac{z}{c}\right)\right)\\0\end{pmatrix}\\\overrightarrow E_{ray\parallel}=\overrightarrow 0\end{gathered}\right.$$ Il s’agit de deux ondes circulaires l’une droite à la pulsation $\omega_1$ et l’autre gauche à la pulsation $\omega_2$.

Pour une observation transversale(le champ magnétique est perpendiculaire à la direction de propagation de la lumière), c’est à dire $\overrightarrow{\rm OM}=x\overrightarrow e_x$ par exemple,

• le dipôle $\overrightarrow p_\parallel=p_\parallel\overrightarrow e_z$ rayonne un champ électromagnétique : $$\overrightarrow E_{ray\parallel}=-\frac{\mu_0\omega_0^2p_{\parallel}}{4\pi x}\sin\left(\omega_0\left(t-\frac{x}{c}\right)\right)\overrightarrow e_z ;\quad \overrightarrow B_{ray\parallel}=\overrightarrow e_x\wedge \overrightarrow E_{ray\parallel}/c$$ C’est une onde polarisée rectilignement selon (Oz)(direction du champ magnétique statique) ayant une pulsation égale à $\omega_0$.
• le dipôle $\overrightarrow p_{(\perp -)}$ rayonne un champ électromagnétique donné par : $$\overrightarrow E_{ray1}=-\frac{\mu_0\omega_1^2p_{(\perp-)}}{4\pi x}\sin\left(\omega_1\left(t-\frac{x}{c}\right)\right)\overrightarrow e_y ;\quad \overrightarrow B_{ray1}=\overrightarrow e_x\wedge \overrightarrow E_{ray1}/c $$Il s’agit d’une polarisation rectiligne selon Oy(perpendiculaire au champ magnétique statique) à la pulsation $\omega_1$.

• le dipôle $\overrightarrow p_{(\perp +)}$ rayonne un champ électromagnétique donné par : $$\overrightarrow E_{ray2}=\frac{\mu_0\omega_2^2p_{(\perp+)}}{4\pi x}\sin\left(\omega_2\left(t-\frac{x}{c}\right)\right)\overrightarrow e_y ;\quad \overrightarrow B_{ray2}=\overrightarrow e_x\wedge \overrightarrow E_{ray2}/c $$Il s’agit d’une polarisation rectiligne selon Oy(perpendiculaire au champ magnétique statique) à la pulsation $\omega_2$.

Conclusion :

• pour une observation longitudinale, on obtient deux ondes polarisées circulairement, l’une gauche à la pulsation $\omega_2$ et l’autre droite à la pulsation $\omega_1$. Ces deux polarisations sont perpendiculaires l’une à l’autre.
• pour une observation transversale, on obtient trois ondes polarisées rectilignement. La raie de pulsation centrale $\omega_0$ est polarisée selon le champ magnétique statique et les deux autres raies de pulsation $\omega_1$ et $\omega_2$ sont polarisées perpendiculairement au champ magnétique statique
• l’écart entre les fréquences est proportionnel à la norme du champ magnétique statique : $\nu_2-\nu_1=\frac{eB}{2\pi m}$

Considérons un atome dans l’état d’énergie $E_j$ en absence du champ magnétique et de moment cinétique $\overrightarrow J=\overrightarrow L+\overrightarrow S$. Le moment magnétique de l’atome s’exprime par $\overrightarrow{\mathcal M}_j=g\gamma_{classique}\overrightarrow J$ où $g=\frac{3}{2}+\frac{s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)}$ est le facteur de Landé, $\gamma_{classique}=-\frac{e}{2m_e}$ est le rapport gyromagnétique classique, j, l, s sont les nombres quantiques associés respectivement aux moment cinétiques  $\overrightarrow J$, $\overrightarrow L$ et $\overrightarrow s$ :  $|l-s|\leq j\leq l+s$. L’interaction avec le champ magnétique est représentée par l’hamiltonien $H_{pert}=-\overrightarrow M\cdot \overrightarrow B=-g\gamma_{classique} BJ_z$. La nouvelle valeur de l’énergie de l’atome est donnée par : $$E_{jB}=E_{j}-mg\gamma_{classique}\hbar B=E_j+m_jg\mu_BB,\quad \mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e},\quad -j\leq m_j\leq j$$ $\mu_B$ est le magnéton de Bohr et $m_j$ est le nombre quantique associé à $\overrightarrow J_z$. 

• Lorsque le spin est nul, le moment cinétique total est d’origine orbital. Dans ce cas le niveau d’énergie est scindé en (2j+1) sous-niveaux, c’est à dire en un nombre impaire de sous niveaux
• Dans le cas où j est demi-entier $(s\neq 0)$, le nombre de sous niveaux pair. La contribution du moment de spin conduit à l’effet Zeeman anormal.

3.1. Transitions-règles de sélection Les transitions entre deux niveaux d’énergie doivent respecter les règles de sélection $\Delta l=0$,$\Delta j=0,\pm 1$ et $\Delta m_j=0,\pm 1$. La transition entre deux niveaux j=0 est interdite. $\Delta m_j=0$.

• la transition correspondante à $\Delta m_j=0$ est appelée transition $\pi$. L’onde émise est polarisée rectilignement suivant le champ magnétique.
• les transitions correspondantes à $\Delta m_j=\pm 1$ sont appelées transitions $\sigma^+$ et $\sigma^-$. Les ondes émises sont polarisées rectilignement dans la cas d’une observation transversale et circulaires dans le cas d’une observation longitudinale.

• Pour un champ magnétique de l’ordre de 300 mT, la différence entre les deux fréquence extrêmes est donnée par : $$\nu_2-\nu_1=\frac{eB}{2\pi m_e}=8.4 \,GHz\Rightarrow \Delta\lambda =\lambda_1-\lambda_2=\frac{eB\lambda_0^2}{2\pi m c}=0,0116\,nm$$ L’écart par rapport à la raie centrale est de  $5,5.10^{-3}\,nm$
•   la mise en évidence s’effectue à l’aide de de l’interféromètre de Pérot-Fabry ou à l’aide de l’étalon Pérot-Fabry dont le principe de fonctionnement est donné ci-après.

3.4. Mise en évidence expérimental de l’effet Zeeman 3.4.1. Montage expérimental3.4.2. Étalon Pérot-Fabry

• La figure d’interférences à l’infini est caractérisée par l’intensité $$\left\{\begin{gathered}I=\frac{I_0}{1+F\sin^2\left(\frac{\phi}{2}\right)} ;\quad \phi=\frac{4\pi ne\cos(\alpha)}{\lambda}\\m=\frac{4R}{(1-R)^2} ;\,\text{R : coefficient de reflexion du miroir}\end{gathered}\right.$$
• On obtient des anneaux claires fins alternés par des anneaux sombres larges. La finesse de l’interféromètre est définie par $$ F=\frac{2\pi}{\Delta\phi_{1/2}}=\frac{\pi\sqrt{R}}{1-R} ;\quad \underbrace{\Delta\phi_{1/2}=\frac{2(1-R)}{\sqrt{R}}}_{\text{la largeur a mi-hauteur}}$$

• Le pouvoir de résolution (PR) s’obtient de la manière suivante : $$\left\{\begin{gathered}\phi=\frac{4\pi ne\cos(\alpha)}{\lambda}\Rightarrow \frac{d\phi}{d\lambda}=-\frac{4\pi ne\cos(\alpha)}{\lambda^2}\\ \Delta\phi=\frac{2\pi}{F}\Rightarrow \Delta\lambda=\frac{\lambda^2}{2neF\cos(\alpha)}\Rightarrow \Delta\lambda_{min}=\frac{\lambda^2}{2ne F}\\ PR=\frac{\lambda}{\Delta \lambda_{min}}=\frac{2neF}{\lambda}\end{gathered}\right.$$
• La résolution de l’interféromètre s’exprime sous la forme : $\Delta\lambda_{min}=\frac{\lambda^2}{2ne F}$. Ordre de grandeur : $R=0,85$ ; $e=4\,mm$ ; $n=1,4567$ ; $\lambda=643,8\,nm$ ; $F=19,29$ ; $\Delta\lambda_{min}=1,8.10^{-3}\,nm$. Ce qui permet de séparer les raies Zeeman.

3.4.3. Détermination du décalage en longueur d’onde($\Delta\lambda$)  ou en fréquence($\Delta\nu$)La détermination de $\Delta\lambda$ ou $\Delta\nu$ est obtenue à partir du rayon des anneaux : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\delta=2e\sqrt{n^2-\sin^2(i)}\\P=\frac{\delta}{\lambda}=P_0\sqrt{\left(1-\frac{\sin^2(i)}{2n^2}\right)},\,P_0=P_1+\varepsilon,\,0<\varepsilon<1\\ P_1\text{ : l’ordre du premier anneau brillant a partir du centre},\,P_k=P_1-(k-1)=P_0-(\varepsilon+k-1)\\\text{r : le rayon des anneaux dans le plan focal image}\Rightarrow \sin(i)=\frac{r}{\sqrt{r^2+f’^2}} \\ \text{R : le rayon mesure } R=\alpha r\Rightarrow \sin(i)=\frac{R}{\sqrt{R^2+\beta^2}} ;\,\beta=\alpha f’\\ \delta=P_k\lambda=2en\sqrt{1-\frac{R_k^2}{(R_k^2+\beta^2)n^2}}\Rightarrow \boxed{R^2_k=\beta\frac{4e^2n^2-P_k^2\lambda^2}{4e^2(1-n^2)+P_k^2\lambda^2}}\end{gathered}\right.\end{eqnarray*} $R_k$ est le rayon du kième anneau brillant mesuré.

$R_k$ est une fonction décroissante de la longueur d’onde, c’est à dire : $\lambda_1<\lambda_0<\lambda_2\Rightarrow R_k(\lambda_1)>R_k(\lambda_0)>R_k(\lambda_2)$. La détermination de $\Delta\lambda=\lambda_2-\lambda_0=\lambda_0-\lambda_1$ consiste à utiliser une technique qui contourne les grandeurs inconnues. Il s’agit de tracer une quantité Q en fonction du numéro de l’anneau brillant k : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}R_k^2(\lambda_1)=\beta\frac{4e^2n^2-P_k^2\lambda_1^2}{4e^2(1-n^2)+P_k^2\lambda^2_1}\\R_k^2(\lambda_2)=\beta\frac{4e^2n^2-P_k^2\lambda_2^2}{4e^2(1-n^2)+P_k^2\lambda^2_2}\\Q=\frac{R_k^2(\lambda_1)+R_k^2(\lambda_2)}{2(R_k^2(\lambda_1)-R_k^2(\lambda_2))} =\frac{32e^4n^2(1-n^2)+4e^2P_k^2(\lambda_1^2+\lambda^2_2)(2n^2-1)-2P_k^4\lambda_1^2\lambda_2^2}{8e^2P_k^2(\lambda_2^2-\lambda_1^2)}\\ (\lambda_1^2+\lambda_2^2)=2\lambda_0^2,\,(\lambda_2^2-\lambda_1^2)=4\lambda_0\Delta\lambda ;\,\Delta\lambda=\lambda_2-\lambda_0=\lambda_0-\lambda_1\\ Q=\frac{e^2n^2(1-n^2)}{\lambda_0\Delta\lambda}P_k^{-2}+\frac{\lambda_0}{4\Delta\lambda}(2n^2-1)-\frac{\lambda_0^3}{16e^2\Delta\lambda}P_k^2\\P_k=\frac{2en}{\lambda_0}\left(1-\frac{\lambda_0}{2en}(k+\varepsilon-1)\right)=\frac{2en}{\lambda_0}(1-\gamma) ;\,\gamma=\frac{\lambda_0}{2en}(k+\varepsilon-1)\ll 1\Downarrow \\ P_k^{-2}\approx\frac{\lambda_0^2}{4e^2n^2}(1+2\gamma)\Rightarrow Q=\frac{\lambda_0^2}{4en\Delta\lambda}(k+\varepsilon-1)=A\times k+B\Rightarrow \Delta\lambda=\frac{\lambda_0^2}{4enA}\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}

Dans le cas où $n=1$(Pérot-Fabry en lame d’air à faces parallèles), la pente de $Q(k)$ est égale à $\frac{\lambda_0^2}{4e\Delta\lambda}$