Mise en évidence expérimentale de l’effet Pockels,
Transmission du son par modulation électro-optique.
Montage expérimental(cellule à effet Pockels)
Montage expérimental : mise en évidence expérimental de l’effet Pockels
Schéma synoptique du montage expérimental utilisé pour transmettre du son par modulation électro-optique
Capteur optique
cellule de néobate de lithium,
laser,
lampe quartz-iode,
filtre anti-calorique,
condenseur,
diaphragme circulaire,
lentilles f’=10 cm,
polariseurs, lames quart d’onde,
photodiode BPW21,
amplificateur opérationnel faible tension de décalage,
amplificateur de puissance basse-fréquence,
haut parleur.
1. Biréfringence linéaire provoquée par un champ électrique : effet Pockels 1.1. Définition Sous l’action d’un champ électrique :
- un matériau initialement isotrope peut devenir anisotrope,
- un matériau initialement anisotrope uniaxe peut devenir anisotrope biaxe.
Les matériaux qui présentent l’effet Pockels sont non centro-symétriques :
- Le néobate de lithium $LiNbO_3$ : il cristallise dans le système trigonal et possède 4 coefficients Pockels non nuls,
- cristal de KDP(potassium dihydrogène phosphate) : il cristallise dans le système tétragonal et possède deux coefficients non nuls,
- systèmes cubiques tels que CdTe, GeAs, InAs : ils possèdent un seul coefficient Pockels non nul
On applique une tension électrique selon Ox ce qui provoque une biréfringence linéaire et rend le matériau biaxe.1.3. Calcul de la biréfringence provoquée
Dans un repère orthonormé et en régime sinusoïdal forcé la relation entre le vecteur excitation électrique et le champ électrique s’exprime sous la forme : \begin{eqnarray*}\overrightarrow D=\varepsilon_0[\varepsilon_r]\overrightarrow E ;\quad[\varepsilon_r]=\begin{pmatrix}n_{11}^2&n_{12}^2&n_{13}^2\\n_{21}^2&n_{22}^2&n_{23}^2\\ n_{31}^2&n_{32}^2&n_{33}^2\end{pmatrix}\end{eqnarray*}$[\varepsilon_r]$ est le tenseur permittivité diélectrique relative et $n_{ij}$ les indices optiques généralisés du milieu. L’expression ci-dessus peut s’exprimer également sous la forme : \begin{eqnarray*}\varepsilon_0\overrightarrow E=[\eta]\overrightarrow D ;\quad [\eta]=\begin{pmatrix}\eta_{11}&\eta_{12}&\eta_{13}\\\eta_{21}&\eta_{22}&\eta_{23}\\ \eta_{31}&\eta_{32}&\eta_{33}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}où $[\eta]$ est le tenseur imperméabilité électrique du milieu. En absence de champ électrique appliqué, l’équation de l’ellipsoïde des indices s’exprime sous la forme : $$\sum_{i,j}\eta_{ij}x_ix_j=1$$Dans la base propre (Oxyz), cette équation devient : $$\eta_{11}x^2+\eta_{22}y^2+\eta_{33}z^2=1\Rightarrow \frac{x^2}{n_1^2}+\frac{y^2}{n_2^2}+\frac{z^2}{n_3^2}=1$$ L’application d’un champ électrique $\overrightarrow E_0$ entraîne la déformation de l’ellipsoïde des indices qui se manifeste par la modification des paramètres $\eta_{ij}$, au premier ordre, de la manière suivante : $$\eta_{ij}(\overrightarrow E_0)\approx\eta_{ij}(\overrightarrow 0)+\sum_{k=1}^3\left(\frac{\partial \eta_{ij}}{\partial E_{0k}}\right)_{\overrightarrow E_0=\overrightarrow 0}E_{0k}\approx \eta_{ij}(\overrightarrow 0)+\sum_{k=1}^3r_{ijk}E_{0k}$$où $r_{ijk}=r_{jik}$ sont appelés coefficients de Pockels. Pour simplifier l’écriture on utilise la notation de Voigt : \begin{eqnarray*}(i,j)\longrightarrow nombre ; \quad (1,1)\longrightarrow 1 ;\quad (2,2)\longrightarrow 2 ;\quad (3,3)\longrightarrow 3 ;\\ (2,3)\longrightarrow 4 ;\quad (1,3)\longrightarrow 5 ;\quad (1,2)\longrightarrow 6\end{eqnarray*} Le paramètre $\eta_I$ devient : $$\eta_I(\overrightarrow E_0)\approx \eta_I(\overrightarrow 0)+\sum_kr_{Ik}E_{0k}\Rightarrow \delta\eta_I=\eta_I(\overrightarrow E_0)-\eta_I(\overrightarrow 0)\approx \sum_kr_{Ik}E_{0k}$$
Les coefficients Pockels $r_{Ik}$ non nuls dépendent des propriétés de symétrie du matériau. Pour le cas du néobate de lithium qui nous intéresse seuls quatre coefficients sont non nuls. Les ordres de grandeurs sont donnés pour une longueur d’onde $\lambda=632,8\quad nm$ et exprimés en picomètre par volt $(u=10^{-12}\quad m.V^{-1})$ : $$r_{12}=r_{61}=-r_{22}=-6,8\ ;u\quad r_{13}=r_{23}=9,6\ ;u ;\quad r_{51}=r_{42}=32,6\ ;u ;\quad r_{33}=30,9\ ;u$$Le néobate de lithium est un milieu biréfringent uniaxe négatif$(n_0=2,29>n_E=2,21)$. Soit (oxyz) le repère propre. L’axe optique est selon (0z). L’équation de l’ellipsoïde des indices s’exprime dans ce repère sous la forme : \begin{eqnarray*}\begin{gathered}\eta_1x^2+\eta_2y^2+\eta_3z^2=1 ;\quad \eta_1=\frac{1}{n_0^2} ;\quad \eta_2=\frac{1}{n_0^2} ;\quad \eta_3=\frac{1}{n_E^2}\\\eta_4=0 ;\quad\eta_5=0\ ;\quad\eta_6=0\end{gathered}\end{eqnarray*}L’application d’un champ selon Oy conduit à la déformation de l’ellipsoïde des indices de la manière suivante : \begin{eqnarray*}\begin{gathered}\eta_1=\frac{1}{n_0^2}-r_{22}E ;\quad \eta_2=\frac{1}{n_0^2}+r_{22}E ;\quad \eta_{4}=r_{51}E\\\eta_{3}=\frac{1}{n_E^2} ;\quad \eta_5=0 ;\quad\eta_6=0\end{gathered}\end{eqnarray*}L’équation de l’ellipsoïde des indices devient alors sous la forme : $$ \left(\frac{1}{n_0^2}-r_{22}E\right)x^2+\left(\frac{1}{n_0^2}+r_{22}E\right)y^2+\frac{1}{n_E^2}z^2+2r_{51}Eyz=1$$L’effet du champ électrique se manifeste par :
- le repère (oxyz) n’est plus repère propre
- le milieu est devenu biaxe ;
- l’ellipsoïde des indice subit une rotation dans le plan (0yz) puisqu’il n’y a qu’un terme croisé en (yz)
\begin{eqnarray*}\left(\frac{1}{n_0^2}-r_{22}E\right)x_p^2+\left(\left[\frac{1}{n_0^2}+r_{22}E\right]\cos^2(\alpha)+\frac{\sin^2(\alpha)}{n_E^2}+r_{51}E\sin(2\alpha)\right)y_p^2+\left(\left[\frac{1}{n_0^2}+r_{22}E\right]\sin^2(\alpha)+\frac{\cos^2(\alpha)}{n_E^2}-r_{51}E\sin(2\alpha)\right)z_p^2=1\end{eqnarray*}$\alpha$ est faible, l’équation devient sous la forme : $$\frac{x_p^2}{n_{xp}^2}+\frac{y_p^2}{n_{yp}^2}+\frac{z_p^2}{n_{zp}^2}=1$$avec
\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}n_{xp}^2=\frac{n_0^2}{1-n_0^2r_{22}E}\Rightarrow n_{xp}\approx n_0+\frac{n_0^3r_{22}E}{2}\\n_{yp}^2=\frac{n_0^2}{1+n_0^2r_{22}E}\Rightarrow n_{yp}\approx n_0-\frac{n_0^3r_{22}E}{2}\\n_{zp}\approx n_E\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}La biréfringence introduite par le champ électrique appliqué selon (Oy) est de la forme : $\Delta n=n_{y_p}-n_{x_p}=-n_{0}^3r_{22}E$. Le déphasage entre les deux ondes à la sortie de la cellule de longueur e est de la forme : $$\Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}e\Delta n=-\frac{2\pi en_0^3r_{22}E}{\lambda}=-\frac{2\pi en_0^3r_{22}U}{\lambda d}$$La cellule se comporte comme une lame demi-onde si $U=U_\pi$ : $$\Delta\phi=-\pi\frac{U}{U_\pi}\Rightarrow U_\pi=\frac{\lambda d}{2en_0^3r_{22}}$$1.4. Mise en évidence expérimentale Le montage est donné dans la figure ci-dessous.
La cellule est taillée perpendiculairement à son axe optique et éclairée à l’aide d’un faisceau convergent, en absence du champ appliqué, on obtient des anneaux à égal incidence avec une croix noire qui repère les directions du polariseur croisé à l’analyseur. En lumière blanche, chaque couleur donne son propre système d’anneaux. Ce qui conduit aux anneaux de Newton si la différence de marche est inférieure à la longueur de cohérence de la lumière blanche. L’utilisation de deux polariseurs circulaires permet de se débarrasser de la croix.
En présence du champ électrique, l’ellipsoïde des indices se déforme. Le milieu devient biaxe(trois indices différents dans le repère propre $(Ox_py_pz_p)$). C’est pour cette raison on obtient des anneaux déformés avec deux centres d’autant plus séparés que le champ électrique ou la tension appliquée est grand.
2. Transmission du son par modulation électro-optique d’un faisceau laser
Le schéma synoptique du montage utilisé est donné dans la figure ci-dessous.
Le capteur optique est à base de la photodiode BPW21 comme le montre la figure ci-dessous.
Le faisceau laser est quasi-parallèle. L’application d’une tension continue à la cellule à effet Pockels conduit à un déphasage entre les ondes polarisées selon (Ox) et selon (Oy) de la forme : $$\Delta\phi=-\pi\frac{U}{U_\pi} ;\quad U_\pi=\frac{\lambda d}{2e n_0^3r_{22}}$$En configuration polariseur croisé à l’analyseur et à $45^\circ$ des axes Ox et Oy, l’intensité lumineuse transmise par l’analyseur s’exprime par : $$I=I_0\sin^2\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right)=I_0\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\frac{U}{U_\pi}\right)$$ L’allure de I en fonction de U est donnée dans la figure ci-dessous.
On se place au point d’inflexion par l’application d’une tension continue $U=U_M$ ou $U=U_N$. On superpose à cette tension un signal de faible amplitude : $U=U_M+V_M\cos(\omega t) ;\quad V_M\ll U_M$. Le point de fonction décrit pratiquement la tangente à la courbe en M. L’intensité lumineuse résultante s’exprime sous la forme : $$I=I(U_M)+\left.\frac{dI}{dU}\right)_{U_M}\times (U-U_M)=\frac{I_0}{2}+I_0\frac{\pi}{2}\frac{V_M}{U_\pi}\cos(\omega t)$$Le capteur optique à base de la photodiode BPW21 convertit le signal lumineux en une tension électrique : $$V_s=R\alpha\left(\frac{I_0}{2}+I_0\frac{\pi}{2}\frac{V_M}{U_\pi}\cos(\omega t)\right)$$L’amplificateur de puissance basse fréquence supprime la composante continue et donne de la puissance à la partie alternative de la tension $V_s$ : avec cette technique on arrive à extraire le signal sonore transporté par le faisceau laser.
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