Effet Faraday
- Mise en évidence expérimentale de l’effet Faraday dans le verre en flint,
- Étude de la variation de l’angle de rotation du plan de polarisation en fonction de la longueur d’onde et du champ magnétique
Montage expérimental
- laser,
- verre flint,
- lentille convergente : f’=100 mm,
- polariseurs,
- électroaimant
- générateur 0-12V/0-10 A,
- Ampèremètre
- caméra à fibre optique ,
- spectromètre
1. Définition Un matériau présente le pouvoir rotatoire ou la la biréfringence circulaire si il fait tourner le plan de polarisation d’une lumière rectiligne incidente d’un angle $\alpha$ qui peut être positif ou négatif. On distingue deux types de matériaux :
- matériau dextrogyre : il fait tourner le plan de polarisation rectiligne incidente à droite pour un observateur situé en face du faisceau incident,
- matériau levogyre : il fait tourner le plan de polarisation rectiligne incidente à gauche pour un observateur situé en face du faisceau incident.
- Exemples : cristal de quartz, solution de saccharose, solution de glucose, solution de fructose,…
On utilise le modèle de l’électron élastiquement lié pour déterminer la relation constitutive du milieu sous l’action d’un champ magnétique.
Considérons un électrons élastiquement lié appartenant à un type de nuage électronique donné. Il est soumis à l’action du champ électromagnétique de l’onde incidente $(\overrightarrow E, \overrightarrow B)$ et du champ statique $\overrightarrow B_{st}$. L’application du principe fondamental de la dynamique conduit à l’équation vérifiée par l’écart par rapport à la position d’équilibre $\overrightarrow r $ ci-dessous :
$\frac{d^2\overrightarrow r}{dt^2}=-\omega_0^2\overrightarrow r-\frac{e}{m}\overrightarrow E-\frac{e}{m}\frac{d\overrightarrow r}{dt}\wedge \overrightarrow B_{st}$ où $-m\omega_0^2\overrightarrow r$ est la force élastique que subit l’électron et $\omega_0$ la pulsation propre correspondante. On a négligé la force magnétique dû au champ de l’onde devant la force électrique.
Il en résulte que la polarisation électrique $\overrightarrow P=-Ne\overrightarrow r$ vérifie l’équation différentielle ci-dessous : $\frac{\partial ^2\overrightarrow P}{\partial t^2}+\omega_0^2\overrightarrow P=\varepsilon_0\chi_0\omega_0^2\overrightarrow E-\frac{e}{m}\frac{\partial \overrightarrow P}{\partial t}\wedge \overrightarrow B_{st} ;\quad \chi_0=\frac{Ne^2}{m\varepsilon_0 \omega_0^2}$ où N désigne la densité volumique des électrons élastiquement lié et $\chi_0$ est la susceptibilité statique du milieu.
On s’intéresse dans la suite à la propagation d’une onde électromagnétique plane et monochromatique de la forme : $\overrightarrow E=\overrightarrow E_0\exp[i(kz-\omega t)] ;\quad \overrightarrow P=\overrightarrow P_0\exp[i(kz-\omega t)]$ L’équation différentielle conduit à l’expression implicite de la polarisation électrique sous la forme : $\overrightarrow P_0=\underbrace{\frac{\varepsilon_0\chi_0\omega_0^2}{\omega_0^2-\omega^2}\overrightarrow E}_{\text{terme 1}}+\underbrace{i\frac{e}{m}\frac{\omega}{\omega_0^2-\omega^2}\overrightarrow P_0\wedge \overrightarrow B_{st}}_{\text{terme 2}}$ Le terme 2 constitue une correction par rapport au terme 1 sauf pour les pulsations proches de $\omega_0$. On remplace l’expression de $\overrightarrow P_0$ trouvée uniquement à l’aide du terme 1 dans le terme 2. Il en résulte la polarisation électrique : $\overrightarrow P_0=\frac{\varepsilon_0\chi_0\omega_0^2}{\omega_0^2-\omega^2}\overrightarrow E+i\frac{e\omega}{m}\frac{\chi_0\omega_0^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2}\overrightarrow E_0\wedge \overrightarrow B_{st}$
D’où l’expression de l’excitation électrique : $\overrightarrow D_0=\varepsilon_0 n_0^2\overrightarrow E_0-i\varepsilon\overrightarrow G\wedge \overrightarrow E_{0} ;\quad n_0^2=1+\frac{\chi_0\omega_0^2}{\omega_0^2-\omega^2} ;\quad \overrightarrow G=\frac{e\omega}{m}\frac{\chi_0\omega_0^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2}\overrightarrow B_{st} =\xi(\omega)\overrightarrow B_{st}=G\overrightarrow e_z ;\quad G=\xi(\omega)B_{st}$La relation tensorielle entre l’excitation électrique et le champ électrique est donnée par : $\begin{pmatrix}D_{0x}\\D_{0y}\\D_{0z}\end{pmatrix}=\varepsilon_0\begin{pmatrix}n_0^2&iG&0\\-iG&n_0^2&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_{0x}\\E_{0y}\\0\end{pmatrix}$Pour une onde circulaire gauche $\overrightarrow E=E_0\begin{pmatrix}E_0\\iE_0\\0\end{pmatrix}$, l’indice de réfraction $n_g$ s’obtient de la manière suivante : $\overrightarrow D=\varepsilon(n_0^2-G)\overrightarrow E=\varepsilon_0n_g^2\overrightarrow E\Rightarrow n_g\approx n_0-\frac{G}{2n_0}$. De même on obtient l’indice de réfraction $n_d$ pour une onde circulaire droite de la forme : $n_d=n_0+\frac{G}{2n_0}$La biréfringence circulaire résultante s’exprime comme suit : $\Delta n_R=n_d-n_g=\frac{G}{n_0}=\frac{\xi(\omega)B_{st}}{n_0}$L’angle de rotation du plan de polarisation est donné par : $\alpha=\frac{\pi L\Delta n_R}{\lambda}=\mathcal V BL $Si le champ magnétique statique est orienté selon la direction de propagation, $B>0$ alors $\alpha>0$ : le matériau est levogyre. Si le champ magnétique statique est opposé à la direction de propagation, $B<0$ alors $\alpha<0$ : le matériau est dextrogyre.
La constante de Verdet $\mathcal V$ s’obtient comme suit :
$\alpha=\frac{\pi L\Delta n_R}{\lambda}=\mathcal V BL\Rightarrow\boxed{\mathcal V=\frac{e}{2n_0mc}\frac{\chi_0\omega_0^2\omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2}=\frac{e\chi_0}{2n_0mc}\frac{\lambda_0^2\lambda^2}{(\lambda^2-\lambda_0^2)^2}}$
En se plaçant loin de la résonance, $\omega\ll \omega_0\Rightarrow \lambda_0\ll\lambda$, l’expression de la constante de Verdet se simplifie et devient : $\boxed{\mathcal V\approx \frac{e\chi_0}{2n_0mc}\left[\frac{\lambda_0^2}{\lambda^2}+2\frac{\lambda_0^4}{\lambda^4}\right]}$
4. Applications :
4.1. Protection d’un faisceau laser
Comme le montre la figure ci-dessous, l’angle de rotation $\alpha$ est multiplié par 2 pour le rayon réfléchi, puisque le matériau est levogyre dans un sens et dextrogyre dans l’autre sens. En choisissant $\alpha=45^\circ$, la polarisation réfléchie est croisée au polariseur, ce qui conduit à son extinction. 
4.2. Transmission de l’information par effet magnéto-optique
La superposition d’un courant continu avec un courant variable crée dans l’entrefer de l’électroaimant un champ magnétique statique et un champ magnétique variable. Ce qui conduit à ce que l’angle de rotation du plan de polarisation contient une composante constante et une composante variable. L’intensité transmise par l’analyseur est proportionnelle au carré du cosinus de $\alpha$ à une constante additive près. Un développement limité au premier ordre montre que l’intensité lumineuse est modulée par le courant variable dû au signal sonore. Ainsi on réalise la modulation magnéto-optique.}\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}I_{el}=I_c+I_0\cos(\omega t)\\ B=B_c+B_0\cos(\omega t)\\ \alpha=\alpha_c+\alpha_0\cos(\omega t)\\ I_{lumineuse}\propto \cos^2(\alpha-\theta_0)\propto [\cos^2(\alpha_c-\theta_0)+\gamma\alpha_0\cos(\omega t)]\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}
Le capteur optique (photodiode BPW21 avec son montage) délivre un signal constitué d’une composante continue et d’une composante variable. La composante continue est éliminée par l’amplificateur basse fréquence et l’autre composante est amplifiée et délivrée au haut parleur pour avoir le son image de celui fourni par le microphone. Ainsi on réalise la démodulation.
