• réaliser la fonction comparaison avec le comparateur à hystérésis,
• étudier l’influence du bruit sur cette fonction.

Montage expérimental

Comparateur à hystérésis non-inverseur

Comparateur à hystérésis inverseur

Montage permettant de superposer le bruit à un signal sinusoïdal

• Carte d’acquisition+PC
• Oscilloscope,
• Boite à décades de résistances,
• Ampli. Op. TL081,
• Fils électriques

1. Modélisation simplifiée : On considère que l’amplificateur opérationnel est idéal. Sa caractéristique statique est de la forme : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\varepsilon=V^+-V^->0\Rightarrow  V_s=+V_{sat}\text{ : regime non lineaire(saturation haute)}\\\varepsilon=0\Rightarrow \quad -V_{sat}<V_s<+V_{sat}  \text{ : regime lineaire}\\\varepsilon<0\Rightarrow V_s=-V_{sat}\text{ : regime non lineaire(saturation basse)}\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}

1.1. Comparateur non inverseur La relation entrée-sortie s’exprime sous la forme : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\varepsilon=V^+-V^-=V^+\\\frac{V_e-\varepsilon}{R_1}+\frac{V_s-\varepsilon}{R_2}=0\Downarrow\\ \varepsilon=\frac{1}{R_1+R_2}\left(R_2V_e+R_1V_s\right)\end{gathered} \right. \Rightarrow\left\{\begin{gathered} \varepsilon>0\Rightarrow V_s=+V_{sat}\text{  si  }V_e>V_b=-\frac{R_1}{R_2}V_{sat}\\\varepsilon<0\Rightarrow V_s=-V_{sat}\text{  si  }V_e<V_h=\frac{R_1}{R_2}V_{sat}\\\text{transition }-V_{sat}\rightarrow V_{sat} : V_e=V_h\\\text{transition }V_{sat}\rightarrow -V_{sat} : V_e=V_b\end{gathered} \right.\end{eqnarray*}

1.2. Comparateur inverseur La relation entrée sortie s’exprime sous la forme : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\varepsilon=V^+-V^- ;\quad V^-=V_e\\\frac{0-V^+}{R_1}+\frac{V_s-V^+}{R_2}=0\Downarrow\\ V^+=\frac{R_1}{R_1+R_2}V_s\\\varepsilon=\frac{R_1}{R_1+R_2}V_s-V_e\end{gathered} \right. \Rightarrow\left\{\begin{gathered} \varepsilon>0\Rightarrow V_s=+V_{sat}\text{  si  }V_e<V_h=\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{sat}\\\varepsilon<0\Rightarrow V_s=-V_{sat}\text{  si  }V_e>V_b=-\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{sat}\\\text{transition }-V_{sat}\rightarrow V_{sat} : V_e=V_b\\\text{transition }V_{sat}\rightarrow -V_{sat} : V_e=V_h\end{gathered} \right.\end{eqnarray*}

2. Justification de la modélisation simplifiée On effectue le raisonnement sur le comparateur inverseur dont le  schéma synoptique est donné dans l’icône « montage expérimental ». En régime linéaire, la tension de sortie est reliée à la tension d’entrée par l’équation ci-dessous : \begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}V_s+\frac{1}{\omega_0}\frac{dV_s}{dt}=\mu_0\varepsilon\\\varepsilon=V^+-V_e\\\frac{0-V^+}{R_1}+\frac{V_s-V^+}{R_2}=0\\\omega_0=2\pi f_0=\frac{1}{\tau} ;\quad f_0\approx 10Hz ;\quad\mu_0\approx 10^5\end{gathered}\right. \Rightarrow \left\{\begin{gathered}V_s+\frac{1}{\omega_0}\frac{dV_s}{dt}=\mu_0\left(\frac{R_1}{R_1+R_2}V_s-V_e\right)\Downarrow \\\frac{dV_s}{dt}+\frac{V_s}{\tau}\left(1-\frac{\mu_0R_1}{R_1+R_2}\right)=-\mu_0\frac{V_e}{\tau} ;\quad \frac{\mu_0R_1}{R_1+R_2}\gg1\Downarrow \\V_s(t)=A\exp\left[\frac{\mu_0R_1}{R_1+R_2}\frac{t}{\tau}\right]+\left(1+\frac{R_2}{R_1}\right)V_e\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}

Cette équation montre que $V_s$ diverge et atteint rapidement le régime de saturation basse($A<0$) ou haute(A>0) et ce durant une durée de l’ordre de $5\frac{1+R_2/R_1}{\mu_0\omega_0}\approx \text{quelques micro-secondes}$. Ce qui justifie le développement du paragraphe « modélisation simplifié ». Lorsque la fréquence augmente,  les basculements de $+V_{sat}\rightleftharpoons-V_{sat}$  sont retardées par l’effet du slew-rate.