• mise en évidence expérimentale de la biréfringence linéaire provoquée pour le plexiglass, le scotch, le verre  et certains objet en plastique.
• mesure de la biréfringence linéaire du scotch à l’aide d’un montage utilisant le compensateur de Babinet.

Montage expérimental (plexiglass)

Montage expérimental (scotch)

Montage expérimental (mesure de la biréfringence à l’aide d’un montage utilisant le compensateur de Babinet)

Montage expérimental (Biréfringence linéaire provoquée du verre d’un condenseur)

Montage expérimental (biréfringence linéaire provoquée de certains objets en plastique)

• Lampe quartz-iode,
• condenseur,
• fente circulaire,
• lentilles, 15cm, 10cm,
• polariseurs, lames quart d’onde,
• plexiglass, ruban adhésif, double décimètre en plastique, équerre, rapporteur,
• filtres interférentiels,
• écran

1. Définition de la biréfringence linéaire provoquée :  Un matériau initialement isotrope peut devenir biréfringent lorsqu’on lui soumis une contrainte mécanique. Exemple : le plexiglass ou plus généralement un matériau présente la biréfringence linéaire à cause des déformations qu’il a subit lors de sa  fabrication.  Exemples : scotch, verre, acétate transparent, équerre,  double décimètre, rapporteur en plastique,…2. Biréfringence linéaire provoquée du plexiglass 2.1. Tenseur des contraintes L’étude des efforts s’exerçant sur un domaine matériel d’un milieu continu a permis de définir en chaque point M, en vertu du postulat de Cauchy, un vecteur densité surfacique de forces $\overrightarrow T(M,t,\overrightarrow n)$ donné par : \begin{eqnarray*}\overrightarrow T(M,t,\overrightarrow n)=\overline{\overline \sigma}\overrightarrow n\end{eqnarray*} où $\overrightarrow n$ est le vecteur unitaire normal à la facette entourant le point M et $\overline{\overline \sigma}$ est le tenseur de contrainte ou tenseur de Cauchy qui s’exprime dans une base quelconque par : \begin{eqnarray*}\overline{\overline \sigma}=\begin{bmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\end{bmatrix}\end{eqnarray*}où $\sigma_{ij}$ possède la dimension d’une pression et s’exprime en Pascal(Pa). Elle représente la composante selon la direction $\overrightarrow e_i$ du vecteur contrainte exercée sur une facette de normale $\overrightarrow e_j$. Une illustration du tenseur de contrainte est donné dans la figure ci-dessous. Les termes non diagonaux correspondent au cisaillement.

Le tenseur de contrainte est symétrique donc diagonalisable. On peut trouver une base $(\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2, \overrightarrow e_3)$ où le tenseur $[\sigma]$ est diagonal. $(Ox_1)$, $(Oy_1)$ et $(Oz_1)$ sont appelés axes principaux de contraintes. Dans la base propre, le tenseur de contrainte s’exprime par : \begin{eqnarray*}\overline{\overline \sigma}=\begin{bmatrix}\sigma_1&0&0\\0&\sigma_2&0\\0&0&\sigma_3\end{bmatrix}\end{eqnarray*}$\sigma_i$ sont les contraintes normales.2.2. Intensité transmise Sous l’action des contraintes extérieures, un matériau transparent isotrope, tel que le plexiglass, devient anisotrope. Les axes propres de l’indice optique coïncident avec les axes principaux du tenseur de contraintes.  Dans le cas bidimensionnel, la biréfringence résultante est proportionnelle à la différence de contraintes principales $\sigma_1-\sigma_2$ : $\Delta n=n_1-n_2=C(\sigma_1-\sigma_2)$ où C est le coefficient de proportionnalité est appelé constante photoélastique. Chaque point du plexiglass se comporte comme une lame biréfringente dont les lignes neutres sont parallèles aux axes principaux des contraintes.L’expression de l’intensité relative à une lame biréfringente, placée entre polariseur et analyseur croisés, dont une ligne neutre est inclinée par rapport la direction du polariseur d’un angle $\alpha$  et pour une longueur d’onde donnée s’exprime par : $I=I_0\sin^2(2\alpha)\sin^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)=I_0\sin^2(2\alpha)\sin^2\left(\frac{\pi\Delta n e}{\lambda}\right)$L’intensité est nulle dans les deux cas : \begin{eqnarray*}I=0\Rightarrow \left\{\begin{gathered}\underbrace{\sin^2(2\alpha)=0\Rightarrow \alpha=0\quad\alpha=\frac{\pi}{2}}_{\text{premiere condition}}\\\underbrace{e\Delta n=m\lambda}_{\text{deuxieme condition}}\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}La première condition implique que localement les lignes neutres de la lame sont confondues avec les axes du polariseur et de l’analyseur. L’ensemble de ces points forment une ligne isocline. La position de cette ligne change lorsqu’on tourne le polariseur et l’analyseur tout en les laissant croisés. Pour supprimer ces lignes il suffit de remplacer les polariseurs standards par des polariseurs circulaires.

La deuxième condition implique que localement la lame se comporte comme une lame onde. La lumière est alors arrêtée par le fait que le polariseur et l’analyseur sont croisés. L’ensemble de ces points forme une ligne isochromatique. Cette ligne reste inchangée par rotation du polariseur et analyseur croisée. C’est ce qui la distingue de la ligne isocline.

En lumière monochromatique l’intensité est donnée par : $I=I_0\sin^2\left(\frac{\pi eC(\sigma_1-\sigma_2)}{\lambda}\right)$En lumière blanche, chaque longueur d’onde donne sa propre figure. L’intensité totale est la somme des intensités dues à chaque longueur d’onde.

• lorsque la différence de marche $eC(\sigma_1-\sigma_2)$ n’est pas très grande devant $0,5\mu m$ quelques longueurs d’onde donnent extinction.
• Si la différence de marche est très grande devant $0,5\mu m$ on obtient du blanc d’ordre supérieur.

3. Biréfringence linéaire provoquée du scotch Le scotch ou ruban adhésif possède une biréfringence linéaire provoquée lors de la fabrication par étirement $\Delta n=n_E-n_0>0$. $n_0$ représente son indice ordinaire et $n_E$ désigne son indice extraordinaire. Chaque morceau d’épaisseur e se comporte comme une lame biréfringente taillée parallèlement à son axe optique orienté selon la direction de l’étirement.  Le calcul de l’intensité transmise par l’analyseur s’obtient en effectuant les transformations ci-dessous selon le schéma synoptique suivant.

• Le vecteur excitation électrique à la sortie du polariseur dans la base (O,x,y) s’exprime sous la forme : \begin{eqnarray*}\overrightarrow D_P=D_0\binom{\cos(\alpha)\quad -\sin(\alpha)}{\sin(\alpha)\quad \cos(\alpha)}\binom{1}{0}=D_0\binom{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}_{/(x,y)}\end{eqnarray*}
• À la sortie du morceau de scotch le vecteur excitation électrique, à un terme de phase près, devient : \begin{eqnarray*}\overrightarrow D_s=D_0\binom{\cos(\alpha)\exp(j\varphi)}{\sin(\alpha)}_{/(x,y)},\quad \varphi=\frac{2\pi\Delta n e}{\lambda}\end{eqnarray*}
• La composante du vecteur excitation électrique transmise par l’analyseur est donnée par : $\overrightarrow D_A=D_0\left[\cos(\alpha)\cos(\beta)\exp(j\varphi)+\sin(\alpha)\sin(\beta)\right]\overrightarrow e_A$

• Cas où $\alpha-\beta=\frac{\pi}{2}$(polariseur et analyseur croisés), l’intensité est donnée par : $I=I_0\sin^2(2\alpha)\sin^2(\frac{\varphi}{2})$
• cas où $\alpha=\beta=\frac{\pi}{4}$(polariseur et analyseur parallèles à $45^\circ$ des lignes neutres du scotch). L’intensité dans ce cas est comme suit : $I=I_0\cos^2(\frac{\varphi}{2})$
•   cas où $\alpha=\frac{\pi}{4}$ et $\beta=\frac{3\pi}{4}$ (polariseur et analyseur croisés à $45^\circ$ des lignes neutres du scotch). L’intensité dans ce cas est comme suit : $I=I_0\sin^2(\frac{\varphi}{2})$

En lumière blanche l’intensité totale est la somme des intensités dues à chaque longueur d’onde du spectre visible. On s’intéresse aux deux cas particuliers cités ci-dessus, c’est à dire les directions du polariseur et de l’analyseur sont à $45^\circ$ des lignes neutres du morceau de scotch. Pour une différence de marche $\delta=e\Delta n $ donnée, on obtient une teinte de newton comme le montre le graphe qui suit.

 Lorsqu’on utilise plusieurs couches ayant différentes orientations, tout ce passe comme si on fait varier la différence de marche de manière continue, ce qui explique les couleurs observées.

Dans le cas où la différence de marche est très supérieure à $0,5nm$ et inférieure à la longueur de cohérence de la lumière blanche, on obtient le blanc d’ordre supérieur.

4. Mesure de la biréfringence du scotch à l’aide d’un montage utilisant le compensateur de Babinet

4.1. Compensateur de Babinet Il est constitué de deux prismes de quartz faisant  un angle faible entre eux (≈ 2°). Le matériau de chaque prisme est taillé parallèlement à  son axe optique. Les axes optiques des deux prismes sont perpendiculaires l’un à l’autre. On peut déplacer le deuxième prisme parallèlement à son  hypoténuse à l’aide d’une vice micrométrique pour compenser le chemin optique introduit par une lame biréfringente pour laquelle on cherche à mesurer sa biréfringence.  D’où le qualificatif de compensateur. La figure suivante montre la construction d’Huygens des deux rayons émergents.

On utilise un polariseur et un analyseur pour interférer les ondes ordinaire et extraordinaire. Les franges d’interférence sont localisées sur l’hypoténuse puisqu’à cet endroit se rencontrent les prolongements des rayons ordinaire et extraordinaire.

4.2. Intensité transmise avant introduction du scotch On commence, dans un premier temps, par le cas des radiations monochromatiques. Puisque les axes optiques des deux prismes constituant le compensateur de Babinet sont perpendiculaire. Une onde ordinaire issue du premier prisme devient extraordinaire dans le second prisme et versa. Pour la configuration du polariseur croisé à l’analyseur et à $45^\circ$ des lignes neutres du quartz constituant le compensateur de Babinet, l’intensité est donnée par : $I=I_0\sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) ;\quad \varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta $ où $\delta$ est la différence de marche entre les ondes extraordinaire et ordinaire émergentes.  Elle se calcule à l’aide du schéma donné dans ci-contre.

\begin{eqnarray*}\left\{\begin{array}{l}\varphi=\frac{2 \pi \delta}{\lambda} \\\delta=(\text { trajet optique } 2)-(\operatorname{trajet} \text { optique } 1) \\\text { trajet optique } 2=\mathrm{n}_{0q}\left(e_{0}-x \tan \theta\right)+n_{eq}\left(e_{0}+x \tan \theta\right) \approx \mathrm{n}_{0q}\left(e_{0}-x \theta\right)+n_{eq}\left(e_{0}+x \theta\right) \\\underbrace{\operatorname{trajet} \text { optique } 1=\mathrm{n}_{eq}\left(e_{0}-x \tan \theta\right)+n_{0q}\left(e_{0}+x \tan \theta\right) \approx \mathrm{n}_{eq}\left(e_{0}-x \theta\right)+n_{0q}\left(e_{0}+x \theta\right)}_{\Downarrow} \\\varphi=\frac{2 \pi}{\lambda} 2\left(n_{eq}-n_{0q}\right) x \theta \Rightarrow I=I_{0} \sin ^{2}\left(\frac{2 \pi}{\lambda}\left(n_{eq}-n_{0q}\right) x \theta\right) \\I=I_{0} \sin ^{2}\left(\frac{\varphi}{2}\right)\end{array}\right.\end{eqnarray*}Les franges d’interférence sont des segments parallèles à (Oy). La frange centrale indépendante de $\lambda$ est sombre. L’interfrange est proportionnelle à $\lambda$ : $i=\frac{\lambda}{2(n_{eq}-n_{0q})\theta}$

Dans le cas de la lumière blanche, l’intensité totale est la somme des intensités propres à chaque longueur d’onde. On obtient une frange centrale noire entourée des irisations (teintes de Newton). Ceci est dû à la faible cohérence de la lumière blanche.

4.3. Intensité transmise après introduction du scotch Lorsqu’on introduit un morceau de scotch d’épaisseur e et de biréfringence $\Delta n_s$, celui-ci introduit un déphasage supplémentaire égale à $-\frac{2\pi}{\lambda}\Delta n_s e$ où on considère que l’axe optique du scotch est porté par l’axe (Ox). L’expression de l’intensité devient : \begin{eqnarray*}I=I_{0} \sin ^{2}\left(\frac{2 \pi}{\lambda}\left[\Delta n_q x \theta-\frac{e \Delta n_s}{2}\right]\right)\end{eqnarray*}La position de la tache centrale s’exprime par : $x_{tc}=\frac{e\Delta n_q}{2\Delta n_s\theta}$. Pour ramener la tache centrale à sa position initiale x = 0, on compense le déphasage introduit par la lame cristalline en déplaçant le deuxième prisme parallèlement à son hypoténuse, à l’aide d’une vice micrométrique. Soit $\gamma$ la mesure algébrique du déplacement vers le bas du deuxième prisme. Le déphasage total devient : $\varphi_{tot}=\frac{2\pi}{\lambda}\left[2\Delta n_qx\theta-e\Delta n_s+\Delta n_q\theta\gamma\right]$La tache centrale revient à sa position initiale x=0 si $\varphi_{tot}(x=0)=0$. Il en résulte la biréfringence du scotch : $\Delta n_s=\frac{\gamma\Delta n_q\theta}{e}$

Le problème c’est qu’on ne connait ni $\Delta n_q$ ni $\theta$ ! Comment peut-on mesurer $\Delta n_s$ ?

4.4. Étalonnage du compensateur de Babinet

• on détermine le déplacement $\gamma_1$ de la vis micrométrique correspondant à une translation d’une frange en radiation monochromatique ($\lambda_{\text{connue}}$),
• on détermine le déplacement $\gamma$ correspondant au rétablissement de la frange centrale en lumière blanche dans sa position avant introduction du scotch,
• La biréfringence du scotch est donnée par : $\Delta n_s=\lambda_{\text{connue}}\frac{\gamma}{e\gamma_1}$\end{itemize

  5. Biréfringence linéaire provoquée du verre Pour calculer L’intensité transmise par le montage pour chaque radiation monochromatique. On utilise la surface des indices pour  calculer la différence de marche entre les ondes qui interfèrent. on s’intéresse au plan d’incidence $(\overrightarrow e_r, \overrightarrow e_z)$ comme le montre la figure suivante.

  La différence de chemin optique entre les ondes ordinaire et extraordinaire s’obtient comme suit :\begin{eqnarray*}\left\{\begin{gathered}\phi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta=(\overrightarrow k_0-\overrightarrow k_e)\times \overrightarrow r=(k_{0z}-k_{ez})\times e=\frac{2\pi}{\lambda}(OH_0-OH_e)e ;\\ k_{0\parallel}=k_{e\parallel} : \text{conservation de la composante tangentielle du vecteur d onde}\\ e\text{ represente l’epaisseur de la lame}\\ OH_0^2+OH^2=n_0^2\Rightarrow OH_0\approx n_0-\frac{i^2}{2n_0} ;\quad(\sin(i)\approx i)\\\frac{OH_e^2}{n_0^2}+\frac{OH^2}{n_E^2}=1\Rightarrow OH_e\approx n_0-\frac{i^2n_0}{2n_E^2}\Downarrow\\ \delta=-\frac{i^2\Delta n}{n_0n_E} ;\quad \Delta n=n_E-n_0\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}Les franges d’égales intensité sont des anneaux d’égales incidences.

  • Le vecteur excitation électrique ordinaire $\overrightarrow D_0$ est perpendiculaire à l’axe optique et au vecteur d’onde $\overrightarrow k_0$. Il est porté par le vecteur $\overrightarrow e_\theta$,
  • Le vecteur excitation électrique extraordinaire $\overrightarrow D_e$ appartenant au plan $(\overrightarrow e_r,\overrightarrow e_,z)$,
  • les projections de $\overrightarrow D_0$ et $\overrightarrow D_e$ dans le plan d’observation (Oxy) sont représentées dans le schéma suivant. Ce schéma montre que la croix noire correspond aux directions du polariseur et de l’analyseur. En effet, la direction du polariseur excite soit $\overrightarrow D_e$ soit $\overrightarrow D_0$ qui sera projeter sur une direction de l’analyseur lui est perpendiculaire. Ceci conduit à une intensité nulle sur l’écran.
  

  Considérons le schéma ci-contre. L’intensité transmise s’obtient de la manière suivante :
  

  • le vecteur excitation électrique à la sortie du polariseur dans la base polaire est donné par :
    $D_{0} \exp [-j \omega t]\binom{\cos(\theta-\alpha)}{-\sin(\theta-\alpha)}_{(\vec{e}_{r}, \vec{e}_{\theta})}$
  • le vecteur excitation électrique à la sortie de la lame de spath devient :
    $D_{0} \exp [-j \omega t]\binom{\cos(\theta-\alpha)\exp(j\varphi)}{-\sin(\theta-\alpha)}_{(\vec{e}_{r}, \vec{e}_{\theta})}$
  • l’intensité transmise par l’analyseur s’exprime sous la forme : $I=I_{0}\left[\begin{array}{l}
    \cos ^{2}(\beta-\theta) \cos ^{2}(\theta-\alpha)+\sin ^{2}(\beta-\theta) \sin ^{2}(\theta-\alpha)+ \\
    2 \cos (\beta-\theta) \cos (\theta-\alpha) \sin (\beta-\theta) \sin (\theta-\alpha) \cos (\varphi)
    \end{array}\right]$
  On distingue les cas suivants.
  • Cas où le polariseur et l’analyseur sont perpendiculaires : $\left\{\begin{array}{l}
    \beta=\alpha+\frac{\pi}{2} \Rightarrow I=2 I_{0} \cos ^{2}(\alpha-\theta) \sin ^{2}(\alpha-\theta)[1-\cos (\varphi)] \\
    I=I_{0} \sin ^{2}(2 \alpha-2 \theta) \sin ^{2}\left(\frac{\varphi}{2}\right)
    \end{array}\right.$
  • Par suite, l’intensité est nulle pour $\theta=\alpha$ et pour $\theta=\alpha+\frac{\pi}{2}$. On montre ainsi que la croix noire correspond au directions du polariseur et de l’analyseur croisés.
  • Lorsque le polariseur et l’analyseur sont parallèles, l’intensité devient :
    $
    \left\{\begin{array}{l}
    \beta=\alpha \Rightarrow I=I_{0}\left[\cos ^{4}(\alpha-\theta)+\sin ^{4}(\alpha-\theta)+2 \cos ^{2}(\alpha-\theta) \sin ^{2}(\alpha-\theta) \cos (\varphi)\right] \\
    \left\{\begin{array}{l}
    \theta=\alpha \\
    \theta=\alpha+\frac{\pi}{2}
    \end{array} \Rightarrow I=I_{0}\right.
    \end{array}\right.
    $
    Ainsi l’intensité, est maximale. On obtient une croix claire.

  Pour chaque longueur d’onde la différence de marche entre les ondes qui interfèrent s’exprime par : $\delta(\lambda)=-\frac{i^2e\Delta n}{n_0n_E}$ où e est l’épaisseur de la lame, $\Delta n=n_E-n_0$ est la biréfringence du matériau. Chaque longueur d’onde donne son propre système d’anneaux concentriques. Pour les faibles différences de marches on obtient des anneaux colorés ou anneaux de Newton.

  Le fait d’obtenir quelques anneaux sur l’écran implique deux choses : soit la biréfringence provoquée du verre est faible, soit les angles d’incidences ne sont pas très importants.

  6. Biréfringence linéaire provoquée de certains objets en plastique Le double décimètre en plastique devient biréfringente sous l’action des contraintes lors de la fabrication. Les axes propres de l’indice optique coïncident avec les axes principaux des contraintes. Chaque point du plastique se comporte comme une lame biréfringente dont les lignes neutres sont parallèles aux axes principaux des contraintes. L’expression de l’intensité relative à une lame biréfringente, placée entre polariseur et analyseur croisés, dont une ligne neutre est inclinée par rapport à la direction du polariseur d’un angle $\alpha$ et pour une longueur d’onde donnée, s’exprime par : $$I=I_0\sin^2(2\alpha)\sin^2\left(\frac{\pi\Delta n e}{\lambda}\right)$$L’intensité est nulle dans les deux cas :
  \begin{eqnarray*}I=0\Rightarrow \left\{\begin{gathered}\sin^2(2\alpha)=0\Rightarrow \alpha=0 ;\text{ou}\ ;\alpha=\frac{\pi}{2}\\e\Delta n=m\lambda ;\ ;m\in Z\end{gathered}\right.\end{eqnarray*}La première condition implique que localement les lignes neutres de la lame sont confondues avec les axes du polariseur et de l’analyseur. L’ensemble de ces points forment une ligne isocline. La position de cette ligne change lorsqu’on tourne le polariseur et l’analyseur tous en les laissant croisés. Pour supprimer ces lignes il suffit de remplacer les polariseurs rectilignes par des polariseurs circulaires. La deuxième condition implique que localement la lame se comporte comme une lame onde. La lumière est alors arrêtée par le fait que le polariseur et l’analyseur sont croisés. L’ensemble de ces points forme une ligne isochromatique. Cette ligne reste inchangée par rotation du polariseur et analyseur croisés. C’est ce qui la distingue de la ligne isocline.

  En lumière blanche, l’intensité totale est la somme des intensités dues à chaque longueur d’onde du spectre visible. On s’intéresse au cas où on a éliminé les isoclines. Lorsque la différence de marche $\delta=e\Delta n$ varie, certaines longueurs d’ondes sont éteintes : on observe la couleur complémentaire (ou teinte de Newton). Ce qui permet de rendre compte de la distribution des couleurs en lumière blanche lorsqu’on balaie la surface des objets en plastique.