Activité optique du quartz
- Mise en évidence expérimentale de l’activité optique du cristal de quartz
- Étude de la variation de l’angle de rotation du plan de polarisation avec la longueur d’onde et l’épaisseur
Montage expérimental
- lampe quartz-iode,
- filtre anticalorique,
- condenseur,
- fente circulaire
- lentille convergente : f’=100 mm ; f’=150, mm
- polariseurs,
- quartz taillé perpendiculairement à son axe optique (dextrogyre, levogyre)à différentes épaisseurs, L=1,5 mm ; L=2,3 mm
- écran,
- caméra à capteur CCD,
- capteur à fibre optique,
- spectromètre.
1. Définition Un matériau présente le pouvoir rotatoire ou la la biréfringence circulaire si il fait tourner le plan de polarisation d’une lumière rectiligne incidente d’un angle $\alpha$ qui peut être positif ou négatif. On distingue deux types de matériaux :
- matériau dextrogyre : il fait tourner le plan de polarisation rectiligne incidente à droite pour un observateur situé en face du faisceau incident,
- matériau levogyre : il fait tourner le plan de polarisation rectiligne incidente à gauche pour un observateur situé en face du faisceau incident.
- Exemples : cristal de quartz, solution de saccharose, solution de glucose, solution de fructose,…
3. Étude de l’évolution de l’angle de rotation du plan de polarisation en fonction de la longueur d’onde : utilisation du spectromètre 3.1. Protocole expérimentale On utilise le quartz levogyre par exemple.
- initialement l’analyseur est croisé au polariseur. On tourne l’analyseur vers la gauche jusqu’à obtenir le premier minimum dans le visible ou proche infra-rouge. On note la valeur de la longueur d’onde $\lambda_1$ du premier minimum et l’angle de rotation $\alpha_1$ de l’analyseur par rapport à la configuration analyseur croisé au polariseur,
- on tourne l’analyseur vers la gauche de $\alpha_1+5^\circ$ et on cherche la longueur d’onde $\lambda_2$ du deuxième minimum correspondante à l’angle $\alpha_2=\alpha_1+5^\circ$.
- on répète ce travail jusqu’à obtenir un tableau de valeurs.
3.2. Origine de l’activité optique du quartz
Le pouvoir rotatoire du cristal de quartz $(SiO_2)$ trouve son origine dans la chiralité cristalline et non moléculaire puisque à l’état liquide ne possède pas d’activité optique. La figurecci-dessous montre les deux énantiomorphes gauche et droit du quartz qui ne sont pas superposables.
3.3. Interprétation de l’activité optique à l’aide de la théorie cinématique de Fresnel
Il s’agit de décomposer une onde incidente polarisée rectilignement en une onde circulaire gauche et en une circulaire droite et d’attribuer des vitesses de phase différentes pour ces deux ondes. À la sortie du matériau on somme les deux ondes décalées (ne sont pas en phase) pour obtenir une polarisation rectiligne ayant un subit une rotation d’angle $\alpha$ par rapport à la polarisation rectiligne incidente comme le diagramme ci-dessous.
Le problème c’est que la théorie cinématique de Fresnel ne permet de rendre compte parfaitement de la dépendance de l’angle de rotation du plan de polarisation en fonction de la longueur d’onde. 3.4. Interprétation de l’activité optique à l’aide de la théorie macroscopique électromagnétique La biréfringence circulaire trouve son origine dans le fait que la réponse est non locale : la polarisation électrique en un point M est due au champ électrique au point M et de la contribution du voisinage de M. Cette réponse peut être caractérisée par l’équation constitutive suivante : $$\overrightarrow P=\underbrace{\varepsilon_0\chi \overrightarrow E}_{\text{reponse locale}}+\underbrace{\varepsilon_0\gamma\overrightarrow{\operatorname{rot}}\overrightarrow E}_{\text{reponse non locale}}$$ Le terme du rotationnel fait intervenir les dérivées partielles du champ électrique et rend compte de la contribution à la polarisation électrique du voisinage du point M. Le vecteur excitation électrique s’exprime sous la forme : $$\overrightarrow D=\varepsilon _0\varepsilon_r\overrightarrow E+\varepsilon_0\gamma\overrightarrow{\operatorname{rot}}\overrightarrow E$$ où $\varepsilon_r=1+\chi$ et $\gamma$ des constantes dépendant de la pulsation $\omega$.
On s’intéresse par la suite à la propagation des ondes planes progressives monochromatiques de la forme : $$\overrightarrow E=\overrightarrow E_0\exp[j(\omega t-\overrightarrow k\cdot\overrightarrow r)] ;\quad \overrightarrow k=n_0k_0\overrightarrow u_z$$ $n_0$ est l’indice ordinaire du quartz. On pose $\overrightarrow G=\gamma\overrightarrow k$ appelé vecteur gyration dont la norme est sans dimension. Le vecteur excitation électrique est relié au champ par un tenseur : $$\begin{pmatrix}D_{0x}\\D_{0y}\\D_{0z}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n_0^2&-jG&0\\jG&n_0^2&0\\0&0&n_0^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_{0x}\\E_{0y}\\E_{0z}\end{pmatrix}$$Pour une onde plane circulaire gauche, on obtient l’indice de réfraction $n_g$ de la manière suivante : $$\overrightarrow E=\begin{pmatrix}E_0\\jE_0\\0\end{pmatrix}\Rightarrow \overrightarrow D=\varepsilon_0n_g^2\overrightarrow E ;\quad n_g^2=n_0^2+G$$ On procède de même pour déterminer l’indice de réfraction relatif à une OPPM circulaire droite. Son expression est donnée sous la forme : $n_d^2=n_0^2-G$ Un développement au premier ordre conduit à l’expression de la biréfringence circulaire :$$\Delta n= n_d-n_g\approx \frac{-2\pi\gamma}{\lambda n_0}$$
L’angle de rotation du plan de polarisation est donné par :
$$\alpha=\frac{\pi e\Delta n}{\lambda}=\frac{-2\pi^2\gamma}{\lambda^2n_0}$$
En tenant compte de la dépendance de $\gamma$ vis à vis de $\lambda$ et en poussant le développement de $\Delta n$ vers les ordres supérieurs on peut rendre compte de la dépendance de $\alpha$ avec la longueur d’onde selon l’équation de Sellmeier.
